12.4. Однополупериодный линейный детектор

В качестве второго примера, иллюстрирующего прямой метод анализа нелинейных устройств, рассмотрим однополупериодный линейный детектор. Такой детектор состоит из однополупериод

ного линейного устройства с характеристикой

где — масштабный множитель, и следующего за ним низкочастотного или усредняющего фильтра.

Фиг. 12.7. Однополупериодный линейный детектор. I - однополупериодное линейное устройство; II - фильтр низких частот.

Схематическое изображение такого детектора приведено на фиг. 12.7, а однополупериодная линейная характеристика изображена на фиг. 12.8.

Фиг. 12.8. Однополупериодная линейная характеристика.

Как видно из фиг. 12.8, функция распределения отклика однополупериодного линейного устройства имеет вид

Эта функция может быть выражена через плотность распределения вероятностей воздействия:

Дифференцируя обе части равенства (12.83) по получаем

где — функция единичного скачка, определяемая равенством (П. 1.6).

Моменты распределения вероятностей отклика можно получить подстановкой равенства (12.82) в (12.6), что дает

Для дальнейших расчетов обычно нужно задать конкретную форму плотности распределения вероятностей воздействия. Если, однако, эта плотность является четной функцией, то мы можем выразить моменты четных порядков на выходе устройства непосредственно через моменты четных порядков на входе. В самом деле, в этом случае

и, следовательно,

где

Согласно (12.7) и (12.82), корреляционная функция отклика однополупериодного линейного устройства равна

где

Гауссовский процесс на входе.

Предположим теперь, что воздействие на входе детектора является выборочной функцией действительного гауссовского вероятностного процесса с нулевым математическим ожиданием. В этом случае плотность распределения вероятностей на входе детектора выражается равенством (12.13), а на выходе однополупериодного линейного устройства, согласно (12.84),

Плотности распределения величин изображены на фиг. 12.9.

Поскольку является в данном случае четной функцией, моменты четных порядков распределения вероятностей отклика можно получить непосредственно из равенства (12.86). Используя равенство (8.116), имеем

где Моменты нечетных порядков можно найти подстановкой (12.13) в (12.85), что дает

где

Фиг. 12.9 а Плотность распределения вероятностей для однополупериодного линейного устройства.

Положив приводим последнееравеаство к виду

Следовательно,

В частности, среднее значение отклика однополупериодного линейного устройства равно

а дисперсия —

Корреляционную функцию отклика однополупериодного линейного устройства можно найти, подставив в (12.87) вместо плотность совместного распределения вероятностей двух гауссовских случайных величин с равными нулю математическими ожиданиями. Если процесс на входе стационарен, то, используя равенство (8.22), получаем

где для всех . Чтобы облегчить вычисление двойного интеграла в последнем выражении, положим

Тогда можно написать

Можно показать, что при

Таким образом, полагая - (поскольку ), получаем выражение

для корреляционной функции отклика однополупериодного линейного устройства при подаче на вход его стационарного действительного гауссовского вероятностного процесса.

Вычисление преобразования Фурье от выражения (12.94) с целью найти спектральную плотность отклика наталкивается на практические трудности; поэтому, прежде чем вычислять преобразование Фурье от корреляционной функции, удобно представить ее в виде бесконечного ряда. Разложение в степенной ряд функции имеет вид

Разложение в степенной ряд функции записывается в виде

Подставляя эти выражения в (12.94) и приводя подобные члены, находим, что первые несколько членов разложения в ряд имеют вид

Поскольку слагаемые с в степени выше второй очень малы, и поэтому мы можем с достаточным приближением положить

Как мы знаем из равенства (12.91), первое слагаемое в разложении в ряд равно квадрату среднего значения Следовательно, остаток ряда, вычисленный при должен определять дисперсию. Используя равенство (12.98), получаем для дисперсии у, приближенную формулу

Сравнивая этот результат с точным значением, определяемым равенством (12.92), мы видим, что приближенное выражение для корреляционной функции (12.98) дает значение дисперсии, отличающееся от точного примерно лишь на 3%. Поскольку приближение, даваемое равенством (12.98), улучшается с уменьшением разность вычисленная по формуле (12.98), никогда не содержит ошибки, превосходящей 3%.

Теперь мы можем, вычислив преобразование Фурье от выражения (12.98), найти приближенное выражение для спектральной плотности отклика однополупериодного линейного устройства:

где — спектральная плотность процесса на входе. Предположим теперь, как и при изучении квадратичного детектора, что процесс на входе обладает узкополосным прямоугольным спектром

В этом случае и, согласно (12.100),

Пусть за однополупериодным линейным устройством следует идеальный фильтр низких частот. Тогда спектральная плотность на выходе фильтра отлична от нуля только в области частот, примыкающей к нулевой частоте. Следовательно,

Различные спектры, относящиеся к рассмотренному случаю, изображены на фиг. 12.10.

Небезынтересно сравнить результаты, полученные выше для однополупериодного линейного детектора и ранее — для двухполупериодного

периодного квадратичного детектора. Сравнивая фиг. 12.4 и 12.10, мы видим, что спектры в обоих детекторах как в окрестности нулевой частоты, так и в окрестности удвоенной средней частоты спектра входного процесса имеют одинаковую форму. Однако площадь в каждой полосе для квадратичного детектора пропорциональна квадрату дисперсии входного процесса, а для линейного детектора — самой дисперсии.

Фиг. 12.10. Спектральные плотности для однополупериодного линейного детектора при узкополосном гауссовском воздействии, входе; выходе однополупериодного линейного устройства: выходе фильтра низких частот.

Другое различие состоит в том, что в спектре отклика однополупериодного линейного устройства возникает дополнительная шумовая полоса, совпадающая по частоте с полосой частот процесса на входе. Эти выводы основываются, конечно, на справедливости приближенного выражения (12.98) для корреляционной функции отклика однополупериодного линейного устройства.

Мы провели здесь исследование однополупериодного линейного детектора в той мере, в какой это удобно сделать прямыми методами анализа. Изучение поведения такого детектора при подаче на вход его суммы сигнала и шума мы отложим до следующей главы.