3.6. Функции от случайных величин

Один из основных вопросов, возникающий в применениях теории вероятностей, формулируется следующим образом. Заданы случайная величина х и ее распределение; каково будет распределение другой случайной величины у, связанной с х функциональной зависимостью, скажем вида Такой вопрос возникает, например, при определении плотности распределения вероятностей сигнала на выходе детектора в радиоприемном устройстве. В настоящем параграфе мы попытаемся показать, как можно ответить на этот вопрос.

Случай одной переменной.

Пусть действительная случайная величина. Мы можем рассматривать ее как координатную переменную в выборочном пространстве представляющем собой действительную прямую с соответствующим образом заданными вероятностями. Пусть точки пространства обозначаются через Тогда х — это функция Пусть — однозначная действительная функция действительной переменной; рассмотрим функцию от определяемую как. Так как является для всякого действительным числом, то — это новая случайная величина, определенная на пространстве (конечно, в предположении, что удовлетворяет условию измеримости). С другой стороны, можно рассматривать также как функцию, задающую отображение пространства в новое выборочное пространство где -множество действительных чисел, образующее область значении, принимаемых когда изменяется в Тогда, если А — некоторое множество точек в то ему соответствует множество точек В в задаваемое условием: в том и только в том случае, если Следовательно,

Гак как мы обычно опускаем переменную принимающую значения в выборочном пространстве, при записи выражений, содержащих случайные величины, то мы можем написать Этот результат выражает основное соотношение между распределениями величин Важно отметить, что несущественно, рассматривать ли как случайную величину, заданную на или же рассматривать у как случайную величину, заданную соответствующей координатой в

Теперь мы можем получить функцию распределения случайной величины у, взяв в качестве В бесконечный с одной стороны интервал Если — множество точек в соответствующее множеству точек то мы

получаем следующее соотношение между распределением вероятностей величины у и распределением вероятностей величины

Плотность распределения вероятностей случайной величины у можно теперь получить при помощи дифференцирования:

Предположим, что плотность распределения случайной величины х существует и непрерывна почти всюду, что у является дифференцируемой монотонной функцией от х и что ее производная обращается в нуль только в изолированных точках. При этих условиях мы можем получить соотношение, непосредственно связывающее и плотность распределения вероятностей величины у, так как из наших предположений вытекает, что х является однозначной функцией от у. Поэтому каждой точке Y в соответствует единственная точка X в и преобразование от х к у является, как говорят, взаимно однозначным. Если предположить, что у — монотонно возрастающая функция от х, то интервал соответствует интервалу . С учетом этого соотношение (3.42) приводится к виду

Аналогичный результат (со знаком минус) мы получим, предположив, что у является монотонно убывающей функцией от поэтому искомым соотношением между плотностями распределений вероятностей случайных величин у их будет соотношение

Если перечисленные выше условия не выполняются, то, применяя равенство (3.43), можно прийти к неверным результатам. Пусть, например, функция у постоянна на некотором интервале в (как это имеет место в однополупериодном выпрямителе); тогда х не является однозначной функцией у и равенство (3.43) становится бессмысленным.

Пример 3.6 1. Технику вычисления плотности распределения вероятностей для функции от случайной величины лучше всего, пожалуй, понять на частном примере. Рассмотрим случай квадратичного преобразования

(изображенного на фиг. 3.4). Такое преобразование имеет место, например, в двухполупериодиом квадратичном детекторе. Из фиг. 3.4 мы прежде всего

видим, что у никогда не принимает отрицательных значений. Поэтому

и, следовательно,

Из фиг. 3.4, далее, видно, что при множество есть множество точек . Следовательно,

откуда

Взяв, далее, производные по У от обеих частей равенства, получаем

Равенства (3.45) и (3.46) в совокупности выражают искомую плотность распределения вероятностей случайной величины у через плотность распределения; величины х.

Фиг. 3.4. Функция, задающая квадратичное преобразование.

Фиг. 3.5. Гауссовская и плотности распределений вероятностей.

Если мы теперь точно зададим функцию например как гауссовскую плотность

то можно провести в соотношениях (3.45) и (3.46) дальнейшие вычисления и найти явное выражение для

Плотность распределения вероятностей, определяемая выражением (3.47) и записаная как функция от называется плотностью распределения . Плотности изображены на фиг. 3.5.

Случай многих переменных.

Идеи, используемые для нахождения распределения вероятностей функции от нескольких случайных величин, — те же, что и в одномерном случае. Если — некоторое множество действительных случайных величин, совместное распределение вероятностей которых известно, то выражения

определяют отображение выборочного пространства величин в выборочное пространство величин ут. Распределение вероятностей случайных величин можно вычислить, найдя множества точек в выборочном пространстве величин являющиеся образами заданных множеств точек в пространстве величин и приравняв вероятности. Нужно отметить, что число случайных величин не должно быть обязательно равно числу случайных величин

Пример 3.6.2. Пусть случайная величина определена как сумма действительных случайных величин

пусть, далее, совместное распределение вероятностей величин х и у известно. Задача состоит в нахождении плотности распределения вероятностей случайной величины

Поскольку х к у являются действительными случайными величинами, в качестве их совместного выборочного пространства можно взять плоскость Так как действительны, то действительной должна быть также и величина и в качестве соответствующего этой случайной величине выборочного пространства можно взять действительную прямую . Как и обычно, мы можем найти плотность распределения вероятностей, вычисляя производную от функции распределения. Для этого мы должны найти множество точек в плоскости соответствующее множеству точек на действительной прямой Из определения случайной величины следует, что искомые точки расположены в полуплоскости изображенной на фиг. 3.6. Итак,

Если плотность совместного распределения вероятностей величин х и у существует и непрерывна, то мы можем написать

отсюда, дифференцируя по Z, получаем, что

Если теперь х и у — независимые случайные величины, то плотность их совместного распределения вероятностей равна произведению плотностей распределения каждой из этих величин. Следовательно, в этом случае

Плотность распределения вероятностей суммы двух независимых случайных величин совпадает, следовательно, со сверткой соответствующих плотностей распределения исходных величин.

Фиг. 3.6

Якобиан.

Если старые и новые случайные величины связаны взаимно однозначным преобразованием, то, как и в соответствующем одномерном случае, может быть выведено явное соотношение между плотностями вероятностей старых и новых величин. Предположим, например, что не только новые случайные величины заданы как однозначные непрерывные (со всюду непрерывными частными производными) функции старых случайных величин,

но и старые случайные величины могут быть представлены как однозначные непрерывные функции новых:

(мы считаем теперь число старых и новых величин одинаковым). При этом каждой точке в пространстве величин соответствует одна и только одна точка в пространстве величин и функциональная зависимость между старыми и новыми случайными величинами задает взаимно однозначное преобразование одного пространства в другое.

Предположим, далее, что А — произвольная замкнутая область в выборочном пространстве величин , а В — ее образ в выборочном пространстве величин . Тогда вероятность того, что. некоторая точка попадает в область А, равна вероятности того, что ее образ попадает в область В. Предполагая, что существует плотность совместного распределения величин мы можем написать

Наша задача сводится теперь просто к вычислению кратных интегралов путем замены переменных. Из сделанных нами предположений о свойствах преобразования следует, что

где задаются равенствами (3.52), а J - якобиан преобразования

Таким образом, старые и новые плотности совместных распределений вероятностей связаны соотношением

При соотношение (3.54) сводится к результату, полученному ранее для одномерного случая (равенство (3.43)]