1.2. ЛИНЕЙНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Звуковое давление. Положим, что давление среды в отсутствие звуковых колебаний равно это давление называют статическим. При прохождении звуковой волны давление в каждой точке среды будет непрерывно изменяться: в моменты сгущения частиц оно больше статического, а в моменты разрежения — меньше. Разность между мгновенным давлением и статическим в той же точке среды, т. е. переменная составляющая давления называется звуковым давлением

Звуковое давление — величина знакопеременная. Давление сила, действующая на единицу площади, т. е. Поэтому за единицу давления в системе принимают ньютон на квадратный метр, а в абсолютной системе единиц — дину на квадратный сантиметр: Па (паскаль) В системах связи и вещания имеют дело с звуковыми давлениями, по амплитуде, не превышающими 100 Па, т. е., по крайней мере, в 1000 раз меньше, чем нормальное атмосферное давление.

Скорость колебаний. Если давления неодинаковы в соседних точках среды, то ее частицы стремятся сместиться в сторону минимального давления. При знакопеременной разности давлений возникает колебательное движение частиц среды около своего статического положения. Скорость колебаний этих частиц где смещение частиц. Скорость колебаний обычно измеряют в метрах или сантиметрах в секунду. Не следует путать эту скорость со скоростью звука. Скорость звука — постоянная величина для данной среды и метеорологических условий, а скорость колебаний — переменная, причем если частица среды перемещается по направлению распространения волны, то скорость считают положительной, а при атном перемещении частицы — отрицательной.

Рис. 1.2. К «выводу уравнения движения

Определим связь между звуковым давлением и скоростью колебаний. Возьмем элементарный объем, заключенный между фронтами волн, находящимися на расстоянии друг от друга, с боковыми поверхностями, расположенными вдоль звуковых лучей (рис. 1.2). Как видно из рисунка, среда в этом объеме находится под действием разности давлений следовательно, испытываемая ею сила

где площадь, выделенная на поверхности фронта волны. С другой стороны, по второму закону Ньютона сила инерции

где масса среды, заключенной в этом объеме; средняя плотность среды.

Приравнивая обе силы получаем

Так как зависят как от координат, так от времени, то, переходя к производиым, имеем

Это уравнение «взывается уравнением движения среды.

Деформация (идеальной (невязкой) газообразной среды, появляющаяся при (распространении в ней звуковой волны, является адиабатической, так как звуковые процессы (происходят быстро, без теплообмена. Поэтому эти (процессы подчиняются закону Бойля-Мариотта c поправкой Пуассона.

где у — показатель адиабаты; для воздуха

Рис. 1.3. К выводу уравнения непрерывности

Выделим элементарный объем (рис. 1.3), как и в предыдущем случае, В статическом состоянии в нем находится определенное количество частиц среды. При звуковых колебаниях занимаемый ими объем непрерывно изменяется. Положим, что в некоторый момент времени частицы среды слева будут смещены на величину и, а справа — на величину тогда при условии непрерывности среды этот объем будет

Разделим обе части выражения на и в правой части заменим на

При пренебрежении членами второго порядка малости получим

Заметим, что последний член в этом выражении обусловлен расхождением (дивергенцией) фронта волны.

При звуковых колебаниях полное давление газообразной среды

где статическое давление; звуковое давление.

Следовательно, Подставив в уравнение закона Пуассона, получим

Как указывалось ранее, поэтому

Переходя к производным, нажодмм

Это уравнение называют уравнением состояния среды. Если это уравнение продифференцировать дважды по и переставить порядок дафференодирования, то получим

Подставляя в него производную из уравнения движения получим уравнение для звукового давления

Заменяя в нем

получим

Это уравнение называют волновым уравнением Вебстера.

Общее решение волнового уравнения имеет вид

Если в первую составляющую решения вместо подставить то для неизменности аргумента следует вместо подставить Следовательно, первая составляющая представляет собой волну, распространяющуюся в сторону положительных значений вторая — в обратном направлении. Из тех же данных следует, что с — скорость распространения волны, так как Таким образом, скорость звука т. е. определяется статическим давлением среды и ее плотностью.

Акустическое сопротивление. Разность давлений является причиной движения частиц среды, а разность потенциалов — причиной движения электрических зарядов. Скорость колебаний частиц среды аналогична скорости движения зарядов — силе тока. Аналогично электрическому сопротивлению введено понятие волнового акустического сопротивления. Удельным волновым акустическим сопротивлением называют отношение звукового давления к скорости колебаний. Удельным оно называется потому, что представляет собой сопротивление для единицы площади фронта волны. Для краткости его часто называют акустическим сопротивлением

Акустическое сопротивление определяется прежде всего свойствами среды. В ряде случаев оно зависит от частоты колебаний и от формы фронта волны. В общем виде оно комплексное:

где и — активная и реактивная составляющие акустического сопротивления. Наличие реактивной составляющей свидетельствует о том, что между звуковым давлением и скоростью колебаний есть сдвиг фаз. Этот сдвиг определяется из соотношения