11.4. Формулировка непрямого метода граничных элементов для тонких пластин

Распределяя «фиктивные» краевые нагрузки и нормальные траничные моменты, скажем где точка границы, и следуя стандартному выводу, изложенному в гл. 2 (в частности, в связи с задачей об изгибе балки), получаем (для уравнения

в которых аргументы выписаны полностью только в первом уравнении.

Если реальная (в противоположность фиктивной) граница пластины имеет углы, то в дискретизованный вектор могут быть включены дополнительные компоненты «угловой силы» по одной на угол [1, 2, 6, 7, 10]. Направление нормали в угловых точках для не определено, но кажется разумным выбрать в качестве такого направления биссектрису этого

Три постоянные соответствуют трем условиям, которым должны удовлетворять для того, чтобы система находилась в равновесии без воздействия на бесконечности, а именно

Решение с помощью НМГЭ можно получить, устремляя х к точке границы с учетом того, что при предельном переходе сильные особенности возникают как в граничном интеграле для перерезывающей силы (из-за ), так и в граничном интеграле для момента (из-за ), которые поэтому следует, как и прежде, понимать в смысле главного значения по Коши.

Поэтому в первых двух уравнениях (11.13) достаточно заменить х на тогда как последние два принимают вид

где — угол, образованный линиями границы пластины в точке (т. е. для гладкой границы).

В корректно поставленной задаче всегда имеется достаточно данных на границе, позволяющих найти распределения на и три постоянные из дискретизированных уравнений (11.13), (11.15), с известными левыми частями (т. е. известными или V в и из уравнений (11.14). Решения во внутренней точке как обычно, получаются из (11.13).