3.9.2. Кручение стержней

Применение «методов граничных интегралов» к задаче о кручении стержней детально обсуждалось Мендельсоном [5]. Им были рассмотрены непрямой, полупрямой и прямой методы их решения с одновременным использованием функций кручения и функций напряжений, а затем полученные для чисто упругих стержней результаты были распространены на случай упругопластических стержней. Ранее Джесуон и Понтер [4] получили решения задачи об упругом кручении ряда сплошных и полых стержней с различной правильной формой поперечных сечений, опять используя функцию кручения в прямом варианте МГЭ.

Ниже мы рассмотрим задачу о кручении однородного упругого стержня произвольного поперечного сечения под действием крутящего момента, создаваемого заданными распределениями касательных напряжений на свободных торцах стержня. Один из возможных подходов состоит в трактовке этой задачи как плоской задачи двумерной теории упругости (каковой она, очевидно, и является) и в использовании алгоритмов, которые будут приведены в гл. 4. Однако Сен-Венан показал, что задача о кручении стержня как одна из простейших задач теории упругости может быть сведена к одному гармоническому уравнению в отличие от обычно получающихся в (двумерной) теории упругости более сложных бигармонических уравнений.

Изложим алгоритм МГЭ для упругого стержня с поперечным сечением А, ограниченным контуром 5 (рис. 3.12), применительно к определенной ниже гармонической функции кручения Вращающий момент действующий в каждом поперечном сечении, вызывает поворот на единицу длины стержня, где модуль сдвига материала стержня и момент инерции сечения

А относительно продольной оси, проходящей через его центр масс. Единственными ненулевыми напряжениями в стержне являются касательные напряжения действующие в плоскости в плоскости причем ось направлена вдоль оси стержня.

Рис. 3.12.

Если эти компоненты напряжений выразить через функцию в виде

то можно показать [5], что должна удовлетворять уравнению

Определим где компоненты единичного вектора, заданного в точке х Значения где принадлежит должны удовлетворять соотношению

в котором и компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности

Из уравнений (3.68) непосредственно следует, что сформулированная таким образом задача в точности совпадает с двумерной задачей о потенциальном течении при заданном на границе потоке (величина считается известной). Ее решение может быть получено с помощью прямого или непрямого алгоритма МГЭ, развитого в данной главе. Напряжения в любой точке определяются через т.е. компоненты которые также находятся посредством стандартных операций МГЭ.