11.5. Уравнения прямого метода граничных элементов

Эти уравнения можно сразу написать при помощи соотношений взаимности Максвелла — Бетти для двух различных состояний равновесия упругого тела. Ясно, что, рассматривая сначала только нагрузку нормальную поверхности, и взяв в качестве первого такого состояния а в качестве второго аналогичный набор, помеченный звездочкой, получаем

Рис. 11.4.

Однако в действительности мы хотим работать с уравнениями, записанными для граничной перерезывающей силы V [уравнение (11.4)] и компонент граничных нормальных моментов чтобы число неизвестных соответствовало уравнению четвертого порядка. Мы можем добиться этого, замечая, что в силу (11.3)

Еели частная производная любой непрерывной функции интегрируется вдоль гладкой кривой между двумя точками то

и для замкнутой будет Однако если в точке с вводится угол (рис. 11.4), то мы имеем

Поэтому [7] вдоль такой границы

Если граница имеет N углов, то угловые силы действуют в каждом из них, и в силу (11.6) правая часть (11.186) принимает вид с

Поэтому, подразумевая суммирование по с, можно переписать (11.17) так:

и аналогично

Замечая, что подставляем (11.19) в (11.16) и получаем

Если в качестве помеченных звездочкой величин мы возьмем фундаментальное решение (11.7), (11.8), то из (11.20) следует уравнение

где для на для снаружи (внутри) поверхности — разность значений на разных сторонах угла с.

В дальнейшем уравнение (11.21) следует дополнить уравнением чтобы в том случае, когда берется в точке границы можно было определить все неизвестные величины

Записывая выражения которые легко вычислить из (11.7) и (11.8), получаем дополнительное уравнение в виде

Для выяснения роли угловых сил и соответствующих смещений В (11.21) и (11.22) стоит перечислить обычные граничные условия, встречающиеся в задачах об изгибе пластин:

1) защемленный край: на

2) свободно опертый край:

3) свободный край: на

При включении в вектор нагрузки внешнего момента уравнения (11.21) и (11.22) дополнились бы соответственно членами

Теперь точно так же, как в процессе решения других задач при помощи ПМГЭ, можно сначала использовать дискретизованную форму уравнений для определения неизвестных значений на границе, а затем при помощи (11.21) и (11.22) вычислить величины в любой внутренней точке

Методы интегрирования функций нагружения по внутренним ячейкам пластины, по существу, тождественны методам, подробно описанным в гл. 3 и 4; см. также работу [1].