Приложение В. КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ГАУССА
В.1. Введение
Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1).
Таким образом, для того чтобы аппроксимировать суммой приведенный ниже интеграл по одномерной области-, будем изменять не только соответствующие этим ординатам весовые множители 
но и координаты узлов 
которые будут выбираться оптимальным способом:
Рис. B.l. а — ординаты, расположенные на одинаковом расстоянии (1/3), и весовые множители, еоответст ующие формуле Симпсона; б - формула Гаусса, три узла, точная формула для полинома пятого порядка.
В качестве примера рассмотрим три узла 
Пусть они располагаются в точках 
области интегрирования и имеют весовые множители 
рис. В.1. В формулах, подобных 
подразумевается суммирование по индексу 
Такая формула Гаусса дает точные значения интегралов от полиномов степени 
формула с 
точна для полинома пятой степенней, следовательно, ошибки будут величинами порядка 
Математическое обоснование этого вывода можно найти в [1] и (2]. Все таблицы этого приложения были взяты из работ [2, 3].
В.2. Основная формула численного интегрирования
Повторное применение 
позволяет использовать основные весовые множители и узлы из табл. В.1 (см. ниже) для дву- и трехмерного интегрирования в случаях квадрата: 
и куба
для схемы суммирования, в точности похожей на объясненную в приложении А схему.
Таблицы 
(см. ниже) взяты из [3] (а также из [4]) и содержат результаты, полученные по предложенному Радо [5] варианту квадратурной формулы Гаусса для ячеек в форме треугольника и тетраэдра. Ясно, что, комбинируя треугольную и линейную схемы, можно вывести схему интегрирования для трехгранных призматических элементов почти так же, как было введено похожее параметрическое представление в гл. 8.
Наконец, в табл. В.4 [2] приводятся весовые множители и координаты узлов для специальной формулы вида 
особенно полезной в двумерных задачах МГЭ, а именно
Поскольку все фундаментальные решения в двумерных задачах содержат логарифмические члены, формула 
оказывается полезной при интегрировании выражений, в которых точка приложения нагрузки и точка наблюдения находятся в одном элементе. Заметим что областью интегрирования является 
и поэтому для использования 
граничный элемент следует разделить на две части подобно тому, как это делалось в гл. 15.
