2.4. Ограничение Фруассара
Фруассар показал [178], что если для амплитуды справедливо представление Мандельстама, то требование s-канальной унитарности накладывает ограничение на асимптотическое поведение амплитуды рассеяния в физической области s-канала
и, следовательно, ограничивает число необходимых вычитаний. Это ограничение может быть получено следующим образом. Известно, что [см.
]
поэтому представление Грибова-Фруассара (2.3.4) для s-канальных парциальных волн дает
где
отвечает ближайшей сингулярности по
амплитуды
(это может быть порог или полюс, отвечающий связанному состоянию);
некоторая функция
Это означает, что все парциальные волны с
будут очень малыми. В самом деле, мы можем определить радиус действия сил (см. разд. 2.2) из условия
и тогда частицы, падающие на мишень с прицельными параметрами
будут пролетать мимо мишени, т. е., говоря более точно, они будут рассеиваться значительно более слабо, чем частицы с
Таким образом, для нуклон-нуклонного рассеяния, в котором ближайшей сингулярностью по
является пионный полюс, радиус действия сил равен [ср. (1.7.22) при
и, следовательно, эффективный размер нуклона равен комптоновской длине волны пиона, как это и ожидалось из соотношения неопределенности.
Следовательно, из (2.4.2) получается, что
так как
и поэтому при больших s мы можем ожидать существенное рассеяние для парциальных волн с
где с — некоторая константа. Таким образом, бесконечную сумму в (2.2.2) можно оборвать и написать вместо нее следующее:
Используя ограничение (2.2.12) и свойство, что
для
мы имеем (после суммирования арифметической прогрессии)
Вспоминая оптическую теорему (1.9.5), получаем
Это ограничение и называется ограничением Фруассара. Более строго в рамках квантовой теории поля оно было доказано Мартеном [302, 303].
Ограничение (2.4.9) также приводит к важному следствию, что при фиксированном
и поэтому
(см. конец предыдущего раздела), т. е. представление Грибова-Фруассара (2.3.4) определено при всех
Рис. 2.3. Эллипс Лемана-Мартена: он задает область сходимости разложения по парциальным волнам в s-канале в комплексной плоскости
Эта область определяется сингулярностью, ближайшей к s-каналу и лежашей в точке
С помощью (2.4.6) можно определить более строго, чем раньше, область сходимости ряда по парциальным волнам (2.2.2). Так как мы знаем асимптотическое поведение полиномов
[см.
то, используя (2.4.6), можно легко получить, что ряд (2.2.2) сходится, если
Это условие соответствует точкам, лежащим внутри эллипса в комплексной плоскости
с фокусами в точках
и главной полуосью
(рис. 2.3). В литературе этот эллипс обычно называется малым эллипсом Лемана-Мартена [281, 303].