4.6. Представление Зоммерфельда-Ватсона

Разложение по парциальным волнам (4.5.10) можно переписать в виде контурного интеграла по У, как это было сделано в (2.7.5):

где контур окружает физические значения и обходит все особенности амплитуды как это показано на рис. 4.1. Фактор от вычетов в полюсах знаменателя сокращается благодаря использованию функции вращения вместо связанной с последней соотношением симметрии

Рис. 4.1. Преобразование Зоммерфельда-Ватсона для спиральной амплитуды Контур проходит вокруг целых точек с Когда он разворачивается в контур получаются вклады от реджеаского полюса в точке от разреза, начинающегося в точке и от целых значений в пределах

Теперь, при развороте контура в контур на рис. 4.1 встречаем все реджевские полюса и ветвления амплитуды и получаем при этом вклады от целых значений в области — т. е. от определенных выше и -значений момента. Итак, получаем

Первый член — это обычный фоновый интеграл, пропорциональный Для простоты мы предположили, что при есть только один полюс при и одна точка ветвления при очевидно, из формулы эти члены имеют обычное асимптотическое

поведение и соответственно. Последние члены содержат и -вклады.

Из выражения видно, что в -точке, например, где целое число при функция следовательно, убывает как а значит, члены не будут давать вклада, если только не пропорциональна Мы обсудим эту возможность далее в разд. 4.8, но если временно предположим, что этого не происходит, то первой суммой можно пренебречь. Аналогично из формулы видно, что в -точках где целое, причем следовательно, эти члены также исчезают, если не существует фиксированных полюсов

Эту возможность мы рассмотрим в разд. 4.8.

Если мы хотим исследовать область —1/2, то должны вновь использовать метод Мандельстама, описанный в разд. 2.9, применив вместо соотношение Свойства симметрии функций вращения гарантируют, что из (4.5.7)

где для для пока интеграл (4.5.7) сходится, и поэтому вклады полюсов в двух членах в сокращают друг друга при Итак, получаем

где, следуя (4.5.9), мы определили

Уравнение гарантирует, что полюсные члены и члены, отвечающие разрезам, будут иметь асимптотическое поведение и соответственно, но теперь мы можем отодвинуть контур фонового интеграла так далеко, как захотим. Неудачным для реджевской схемы является то обстоятельство, что используемые нами спиральные состояния не являются собственными состояниями оператора четности, поскольку, безусловно, реджеоны должны иметь определенную четность. Так как разрезы не должны иметь определенной четности, то развитый выше формализм для них вполне удовлетворителен (см. гл. 8). Поэтому иногда более удобно аналитически продолжать по амплитуды с определенной четностью, которые определены в работе [188].

Данное -канальное спиральное парциальное состояние преобразуется под действием оператора четности следующим образом:

где внутренние четности частиц и, как обсуждалось в разд. 4.2, спиральности меняют знак. Фазовый множитель соответствует выбору относительных фаз спиральных состояний Кондона и Шортли, использованному в (4.2.2) и в свойствах отражений матриц вращений [253]. Можно определить состояния с определенной четностью как

где для естественной и неестественной четности. Говорят, что состояние имеет естественную четность, если неестественную четность, если -эти выражения легко получаются из (4.6.7). Если, в зависимости от сигнатуры, четное (нечетное), то эти состояния имеют физический смысл и таким образом возникает соотношение

Так как в сильных взаимодействиях четность сохраняется, то рассеяние возможно только между состояниями одинаковой четности и парциальная амплитуда с определенной четностью дается выражением

Следовательно, можно определить так называемые «сохраняющие четность спиральные амплитуды», свободные от кинематических особенностей по следующим соотношением:

Разложение парциальным волнам для этих амплитуд имеет вид

где мы ввели Или, используя (4.6.9),

Таким образом, мы видим, что полная амплитуда содержит вклады парциальных амплитуд обеих четностей, но асимптотически, из выражений (4.5.9), (4.6.12), и

так что в главном приближении доминирует над Поэтому амплитуду (4.6.12) можно рассматривать как амплитуду с определенной четностью только в асимптотическом смысле.

Если теперь проделать над выражением (4.6.12) преобразование Зоммерфельда-Ватсона и использовать метод Мандельстама, как при выводе (4.6.4), то получим, что реджевский вклад дается выражением

где, по аналогии с (4.6.13), мы ввели

Однако в ведущих членах асимптотики выражение (4.6.15) и вклад реджевского полюса в (4.6.4) совпадают.