1.5. Структура особенностей

Наиболее важным типом сингулярности, который может быть определен с помощью условий унитарности, является простой полюс, отвечающий обмену физической частицей. Положения таких полюсов могут быть выведены из условий унитарности для амплитуды в которых мы возьмем, например, член

Дельта-функция возникает, разумеется, от того, что обмен частицей между вершинами возможен только тогда, когда Поскольку

(где - главная часть), то амплитуды должны содержать вклад полюса в виде

так что выражения содержат -функции из (1.5.1) в пределе Этот результат не является неожиданным, потому что в теории возмущений фейнмановский пропагатор бесспиновой частицы имеет вид полюса (см. разд. 1.12). Кроме того, из ядерной физики известны нестабильные частицы (или резонансы), которые приводят к амплитуде в форме Брейта — Вигнера где ширина резонанса, и отвечают комплексному полюсу при

Дополнительное свойство выражения (1.5.2) заключается в том, что вычет в полюсе может быть факторизован в амплитуды двух процессов рассеяния, включающих частицу а именно Иногда говорят, что эта факторизация — следствие унитарности, но в действительности она следствие постулата несвязности II, поскольку диаграммы (1.5.2) представляют последовательные процессы рассеяния, которые полностью не зависят друг от друга и происходят в двух точках, разделенных промежутком

Таким образом, мы нашли, что обмен частицей дает полюс по в -матрице, и наоборот, присутствие полюса по указывает на существование частицы: стабильной, если полюс существует при действительных значениях и нестабильной, если полюс существует при комплексных как в формуле Брейта-Вигнера.

Следующая простейшая особенность обусловлена обменом двумя частицами, как это происходит в (1.3.21). При этом на пороге возникает точка ветвления. Заменяя переменную интегрирования получаем

В системе центра масс так что

где мы определили как полную энергию в системе центра масс. Полагая аргумент второй -функции в (1.53) принимает вид

поскольку первая -функция приводит к Итак,

Полагая где элемент телесного угла по направлению получаем

Условие унитарности можно распространить на область ниже порога

так что можно рассматривать как одну и ту же функцию аналитически продолженную выше или ниже двухчастичного порога, где она имеет точку ветвления, причем скачок через корневой разрез дается выражением (1.5.7) (см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сингулярности амплитуды рассеяния в комплексной s-плоскости: полюс при пороговые точки ветвления при отвечающий резонансу в точке -шгт на нефизическом листе под разрезом и разрез от порога образования резонанса. Физическое значение амплитуды получается при приближении к действительной оси сверху, как указано стрелкой

Физическая амплитуда, разумеется, вычисляется при действительном однако имеется выбор в выходе на действительную ось сверху или снизу. Мы выбираем (условно) правило для амплитуды что приводит к результату:

и проводим разрез вдоль действительной s-оси, как показано на рис. 1.2. Лист s-плоскости, представленный на рис. 1.2, называется физическим листом.

Поскольку ниже порога А действительна, то из принципа симметрии Шварца [381] ясно, что и что комплексно сопряжена так что

Амплитуда, удовлетворяющая принципу симметрии, называется «вещественно-аналитической» или «действительно-аналитической».

Рис. 1.3. Скачок на -частичном промежуточном состоянии

Эти результаты могут быть обобщены с целью получить скачок через разрез, связанный с произвольным числом частиц в промежуточном состоянии от 1 до (рис. 1.3). В соответствии с результатами Каткоского [135, 136] он равен

где интегрирование проводится по независимым петлям, образованным линиями в промежуточном состоянии. Так как

где главная часть, то (1.5.11) можно переписать как

Это выражение совпадает с тем, которое получается при использовании фейнмановских пропагаторов для частиц в промежуточном состоянии (см. разд. 1.12).

Особенности интегралов типа (1.5.13) детально исследованы [157], а их положения даются правилами Ландау [269] (см. разд. 1.12):

I. для всех

II. при некоторых значениях констант а, причем суммирование ведется по всем замкнутым петлям, а при всех

Таким образом, можно определить все сингулярности амплитуды, записав все различные промежуточные состояния (а их бесконечное число), составленные из разнообразных частиц данной теории, которые могут перевести начальное состояние в конечное. Далее мы рассмотрим несколько примеров. Из правил Ландау и Каткоского, зная полюса, отвечающие частицам, можно (в принципе) вычислить все положения разрезов и скачки на них.

Эти сингулярности включают полюса на действительной оси, обусловленные стабильными частицами, и точки ветвления на действительной оси, связанные с порогами образования различных стабильных частиц. Следует отметить, что нестабильные частицы или резонансы

приводят к полюсу под действительной осью, в точке где T - ширина резонанса. Так как действительная часть массы резонанса, очевидно, должна быть больше, чем пороговая энергия канала, в который он может распадаться, соответствуюший полюс будет лежать не на физическом листе, а на листе, который достигается обходом точки ветвления. Точки ветвления, включающие такие частицы, также будут лежать вне физического листа (см. рис. 1.2).

Мы уже упоминали, что эти особенности, как предполагается, вызваны причинностью. Колмен и Нортон [119] показали, что в физической области уравнения Ландау (1.5.14) соответствуют таким кинематическим условиям, что процесс, представляемый данной диаграммой, может идти классическим образом. Это значит, что если мы рассмотрим каждый внутренний пропагатор как пропагатор точечной частицы с импульсом вершины испускания и поглощения частицы могут быть разделены в пространстве—времени

где время между испусканием и поглощением в собственной системе частицы. Если то эти две точки совпадают. Чтобы это было возможно для частицы, движущейся по замкнутой петле, очевидно, требуется, чтобы что совпадает с выражением (1.5.14). А условия (1.5.14) (1) есть просто уравнения массовой поверхности для 4-импульса.

Таким образом, сингулярности в физической области возникают только тогда, когда соответствующая диаграмма Фейнмана отвечает реальному физическому процессу для классических точечных релятивистских частиц. Поэтому кажется, что микропричинность в теории -матрицы требуется только в пределе принципа соответствия, когда квантовая механика переходит в классическую.