8.2.4. Токи и эффективный гамильтониан системы

В настоящем разделе приводится краткая сводка токов и электромагнитных взаимодействий пион-нуклонной системы.

Подробные выводы и дальнейшие обсуждения можно найти в учебных пособиях [6]. Рассмотрим систему связанных пиона и нуклона во внешнем электромагнитном поле, представляемом -вектором потенциала Гамильтониан этой системы имеет вид

где — это гамильтонианы, соответственно, свободных нуклона, пиона и фотона. Взаимодействие представляется как , где описывает пион-нуклонную связь — взаимодействие с внешним электрическим полем:

Ток имеет вид где и — соответственно, плотности заряда и векторного тока. Он удовлетворяет уравнению непрерывности

которое выражает градиентную инвариантность теории. Электромагнитное взаимодействие релятивистской пион-нуклонной системы с псевдоскалярной или псевдовекторной связью описано в Приложении 13. Здесь мы выпишем его только для случая нерелятивистских точечных нуклонов.

Рассмотрим сначала операторы плотности заряда нуклона и пиона. Для точечного нуклона с зарядом расположенного в точке имеем

Плотность заряда пиона приводится в Приложении

причем плотность полного заряда есть

Оператор нуклонного тока имеет конвекционную и спиновую части

где — оператор импульса нуклона, а

— магнитный момент нуклона,

Согласно Приложению пионный ток есть

До сих пор токи были токами невзаимодействующих нуклона и пиона. Как мы уже видели в разделе 8.2.3, для статического пион-нуклонного взаимодействия минимальная градиентно-инвариантная связь приводит к дополнительному току взаимодействия, который дает амплитуду Кролла—Рудермана на пороге фоторождения пиона. В пределе точечных статических нуклонов этот ток взаимодействия, согласно уравнению (8.10), имеет вид

По способу построения полный ток

сохраняется, т.е. удовлетворяет уравнению непрерывности (8.16).

В статическом пределе плотность гамильтониана взаимодействия с

может быть записана в виде

Первое слагаемое — это знакомое статическое -взаимодействие (8.8); затем идет кролл-рудермановский член взаимодействия Третье слагаемое отвечает взаимодействию магнитного момента нуклона с магнитным полем Два последних слагаемых отвечают взаимодействию плотности заряда с кулоновским потенциалом и взаимодействию пионного тока . Как для псевдоскалярного, так и для псевдовекторного взаимодействия легко получаются основные поправки на нестатичность в порядке до к -взаимодействию с включением электромагнитной связи. Эти члены приводятся в Приложении 13.

Если эффективный гамильтониан (8.25) применяется в ситуациях с большой передачей импульса, в него нужно вводить поправки на конечный размер адронов. В -пространстве это

сводится к замене -функций для точечных нуклонов и пионов на соответствующие формфакторы.

Формфакторы нуклона определяются и описываются в Приложении Нам нужны понятия зарядового формфактора дираковского формфактора связанного с конвекционным током, и магнитного формфактора Кроме того, в член входит аксиальный формфактор нуклона Все они являются функциями квадрата переданного -импульса Нас в основном интересует область малых передач энергии т.е. . В этом случае введем пространственные фурье-преобразования

Видоизмененные плотности заряда и тока нуклона тогда даются выражениями

где обозначает антикоммутатор, а формфактор равен и т. д.

Пионный ток изменяется за счет формфактора пиона так, как описано в Приложении . В части отвечающей взаимодействию, обычно вводится дополнительный формфактор для описания конечного размера вершины Обращаем внимание на то, что эта процедура должна выполняться очень осторожно: токи взаимодействующей системы необходимо строить так, чтобы сохранялась градиентная инвариантность (т.е. удовлетворялось уравнение непрерывности).