Рис. 13.2. Пример множества из четырех точек, определяющих некоторую билинейную поверхность
значения от 0 до 1. В таком случае поверхность треугольника, вершины которого находятся в указанных точках, определяется уравнением
при условии, что и
Естественно,
. Кроме того,
— прямая, соединяющая точки
— прямая, соединяющая точки
— прямая, соединяющая точки
Несколько более сложный вид имеет билинейная интерполяционная поверхность, задаваемая на множестве из четырех точек (рис. 13.2). Такая поверхность
определяется как
где
Очевидно, что
Кроме того,
— отрезок прямой, соединяющий точки
— отрезок прямой, соединяющий точки
Если четыре заданные точки компланарны, то 5 представляет собой плоский интерполяционный четырехугольник; в противном случае
— поверхность второго порядка. Градиент интерполяционной поверхности по и и
можно найти с помощью обычного дифференцирования уравнения (13.13):
Отметим, что эти уравнения — векторные и, следовательно, если
обозначает координату х точки
то
аналогичные соотношения можно записать для
и
Верхний индекс для обозначения частной производной здесь в отличие от выражения (13.3), где использован нижний индекс, введен для того, чтобы исключить путаницу с нижними индексами, обозначающими точки. Для определения градиента по координатам х, у можно воспользоваться уравнениями (13.8).
Пример 13.5. Рассмотрим точки
. В таком случае координаты х, у и z каждой точки билинейной интерполяционной поверхности определяются следующими выражениями:
или
градиент этой поверхности определяется как
Объединяя уравнения (13.15а), (13.16а) и (13.16б), получаем
эти результаты можно было также получить при помощи непосредственного дифференцирования уравнения (13.156).
Результаты последнего примера справедливы и для других случаев, поскольку всегда можно в качестве плоскости, заданной тремя точками, выбрать
и поместить одну точку в начало координат. Поверхность при этом будет определяться выражением