13.4. ЛИНЕЙНЫЕ И БИЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ УЧАСТКИ ПОВЕРХНОСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАМКНУТЫМИ КРИВЫМИ

Простейшим средством интерполирования в трехмерном случае является плоский треугольник, заданный тремя точками Пусть и — скалярные переменные, принимающие

Рис. 13.2. Пример множества из четырех точек, определяющих некоторую билинейную поверхность

значения от 0 до 1. В таком случае поверхность треугольника, вершины которого находятся в указанных точках, определяется уравнением

при условии, что и Естественно, . Кроме того, — прямая, соединяющая точки — прямая, соединяющая точки — прямая, соединяющая точки

Несколько более сложный вид имеет билинейная интерполяционная поверхность, задаваемая на множестве из четырех точек (рис. 13.2). Такая поверхность определяется как

где

Очевидно, что Кроме того, — отрезок прямой, соединяющий точки — отрезок прямой, соединяющий точки Если четыре заданные точки компланарны, то 5 представляет собой плоский интерполяционный четырехугольник; в противном случае — поверхность второго порядка. Градиент интерполяционной поверхности по и и можно найти с помощью обычного дифференцирования уравнения (13.13):

Отметим, что эти уравнения — векторные и, следовательно, если обозначает координату х точки то

аналогичные соотношения можно записать для и Верхний индекс для обозначения частной производной здесь в отличие от выражения (13.3), где использован нижний индекс, введен для того, чтобы исключить путаницу с нижними индексами, обозначающими точки. Для определения градиента по координатам х, у можно воспользоваться уравнениями (13.8).

Пример 13.5. Рассмотрим точки . В таком случае координаты х, у и z каждой точки билинейной интерполяционной поверхности определяются следующими выражениями:

или

градиент этой поверхности определяется как

Объединяя уравнения (13.15а), (13.16а) и (13.16б), получаем

эти результаты можно было также получить при помощи непосредственного дифференцирования уравнения (13.156).

Результаты последнего примера справедливы и для других случаев, поскольку всегда можно в качестве плоскости, заданной тремя точками, выбрать и поместить одну точку в начало координат. Поверхность при этом будет определяться выражением