Рис. 13.2. Пример множества из четырех точек, определяющих некоторую билинейную поверхность
значения от 0 до 1. В таком случае поверхность треугольника, вершины которого находятся в указанных точках, определяется уравнением
при условии, что и 
Естественно, 
. Кроме того, 
— прямая, соединяющая точки 
— прямая, соединяющая точки 
— прямая, соединяющая точки 
Несколько более сложный вид имеет билинейная интерполяционная поверхность, задаваемая на множестве из четырех точек (рис. 13.2). Такая поверхность 
определяется как
где 
Очевидно, что 
Кроме того, 
— отрезок прямой, соединяющий точки 
— отрезок прямой, соединяющий точки 
Если четыре заданные точки компланарны, то 5 представляет собой плоский интерполяционный четырехугольник; в противном случае 
— поверхность второго порядка. Градиент интерполяционной поверхности по и и 
можно найти с помощью обычного дифференцирования уравнения (13.13):
Отметим, что эти уравнения — векторные и, следовательно, если 
обозначает координату х точки 
то
аналогичные соотношения можно записать для 
и 
Верхний индекс для обозначения частной производной здесь в отличие от выражения (13.3), где использован нижний индекс, введен для того, чтобы исключить путаницу с нижними индексами, обозначающими точки. Для определения градиента по координатам х, у можно воспользоваться уравнениями (13.8).
Пример 13.5. Рассмотрим точки 
. В таком случае координаты х, у и z каждой точки билинейной интерполяционной поверхности определяются следующими выражениями:
или
градиент этой поверхности определяется как
Объединяя уравнения (13.15а), (13.16а) и (13.16б), получаем
эти результаты можно было также получить при помощи непосредственного дифференцирования уравнения (13.156).
Результаты последнего примера справедливы и для других случаев, поскольку всегда можно в качестве плоскости, заданной тремя точками, выбрать 
и поместить одну точку в начало координат. Поверхность при этом будет определяться выражением 
Пусть 
и 
— скалярные переменные, принимающие
