16.2.1. ПОЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Для того чтобы оценить положение некоторой точки относительно некоторой плоскости, необходимо определить знак определителя уравнения (16.1) для координат соответствующей точки. Эта задача в трехмерном случае оказывается более сложной, чем в двухмерном, и поэтому необходимо сделать ряд предварительных замечаний.

Определение 16.1. Пустьуь и — векторы, имеющие общую начальную точку и не принадлежащие одной и той же плоскости. Будем считать, что эти векторы образуют правостороннюю систему, если они обладают следующим свойством. Пусть Р — плоскость, задаваемая векторами и Н — полупространство, задаваемое плоскостью Р и содержащее вектор В таком случае для наблюдателя, находящегося в полупространстве Н в точке, общей для всех трех векторов, совмещение векторов и будет выглядеть как поворот против часовой стрелки.

К получению такой системы приводит выбор обычной системы координат Общепринятым примером правой системы координат служат большой, указательный и средний пальцы, отождествляемые с векторами и соответственно. Когда пальцы устанавливаются так, что оказываются взаимно

перпендикулярными, они образуют правую систему. Следующая лемма указывает простой аналитический способ проверки правосторонности системы.

Лемма 16.1. Значение определителя

положительно, если три соответствующие точки образуют правостороннюю систему относительно начала координат.

Доказательство. Без всякой потери общности ось х можно расположить вдоль прямой, соединяющей начало координат с первой точкой, ось у — на плоскости, задаваемой двумя первыми точками и образующей угол, меньший 90°, с прямой, соединяющей начало координат со второй точкой, и ось — по нормали к этой плоскости, причем таким образом, чтобы она вместе с двумя другими осями образовывала правую систему координат (рис. 16.1). В таком случае уравнение (16.6) принимает вид

Благодаря выбранному нами направлению осей координат значения всех трех координат, образующих правую систему, положительны и, следовательно, положительно их произведение, стоящее в правой части уравнения

Можно показать, что значение определителя равно умноженному на шесть объему пирамиды, основанием которой служит треугольник, образованный тремя рассматриваемыми точками, а вершиной — начало координат

Введем аналог допущения 14.1.

Рис. 16.1. Расположение векторов, образующих правостороннюю систему

Допущение 16.1. Если плоскость задана тремя своими точками, эти точки упорядочены таким образом, что они образуют правостороннюю систему относительно начала координат.

Утверждение 16.1. Пусть и — координаты точки Р и — три точки, задающие плоскость. Если и все имеют положительные значения, то точка Р лежит с той же стороны данной плоскости, что и начало координат при условии положительности определителя:

Доказательство. Поскольку правая часть уравнения (16.7) представляет собой линейную функцию от х, у, z и знак этой функции постоянен по каждую сторону плоскости, определяемой уравнением Подстановка в уравнение (16.7) заачений дает

где — определитель (16.6). В силу допущения 16.1, леммы допущения о знаке оба сомножителя в произведении (16.8) положительны.

Последний результат допускает обобщение, позволяющее использовать его для определения расположения произвольной точки относительно неплоских поверхностей. В самом деле, почти любую поверхность можно разбить на треугольники, вершины которых можно разметить некоторым единообразным способом так, чтобы они образовывали правостороннюю систему относительно начала координат. Единственным исключением являются поверхности типа листа Мёбиуса, которые в прикладных задачах машинной графики встречаются нечасто (более подробные сведения об ориентации поверхности можно найти в монографии [16.2, р. 214]).