10.7.1. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ КРИВЫХ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Кривые, представленные уравнением вида могут воспроизводиться аналогично кривым с параметрическим представлением, если это уравнение удается разрешить относительно одной из переменных. Другой подход к представлению таких кривых основывается на дифференцировании уравнения (10.39). Поскольку — константа, ее полный дифференциал равен нулю,

Введя обозначения получаем

и, следовательно,

Искомая кривая представляет собой решение последнего дифференциального уравнения. Это обстоятельство лежало в основе широко использовавшегося метода воспроизведения кривых на аналоговых устройствах, поскольку многие уравнения такого рода моделируются с помощью достаточно простых электронных схем. Дискретную аппроксимацию указанного уравнения можно задать следующим образом:

где с — произвольная константа. Начнем с точки тогда остальные точки можем определить с помощью уравнения (10.43). Очевидно, что константа с определяет плотность получаемых точек. В результате появляются те же проблемы, что и при построении кривой, задаваемой уравнением (10.38). В данном случае, однако, возникает новое существенное препятствие. Так как уравнение (10.43) является лишь некоторой аппроксимацией уравнения (10.42), может оказаться, что построенная кривая будет существенно отличаться от искомой. Полное исследование этой проблемы включает рассмотрение устойчивости численных методов решения и выходит за пределы задач нашей книги (см. разд. 10.9). Следующий пример иллюстрирует эту проблему и способ ее разрешения в простом случае.

Пример 10.6. Уравнение окружности с радиусом и центром в начале координат имеет вид так что уравнения (10.43) принимают следующий вид

Если требуется, чтобы исходная точка имела координаты то можно показать, что приведенные уравнения в конечных разностях имеют решение

где угол, тангенс которого равен Отметим, что значения х и у пропорциональны некоторой степеш числа, большего единицы, а именно значения квадратного корня суммы Следовательно, их значения неограниченно возрастают при увеличении значения к и полученная кривая окажется не окружностью, а спиралью, удаляющейся от центра, т. е. явно не той кривой, которую требовалось построить. Выберем теперь число обладающее тем свойством, что и заменим уравнения (10.44) следующими:

Выбор такого параметра 6 оказывается возможным при Тогда решение этих разностных уравнений принимает вид

где тангенс угла равен Очевидно, что точки, определяемые уравнениями (10.47), лежат на окружности и длина дуги, заключенной между двумя соседними точками, равна

Значение константы с следует выбирать таким образом, чтобы получаемые точки располагались достаточно близко друг к другу. В предыдущем примере определяющим фактором является отношение