13.9. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ШТРИХОВКА

Основная проблема, возникающая при воспроизведении изображений кривых, заключается в преобразовании математического описания соответствующей кривой в набор координат пикселов. Это — единственная информация, которая необходима для воспроизведения плоской кривой. В случае же поверхности одних лишь координат ее точек явно недостаточно для того, чтобы воспроизвести ее изображение. Известны два основных подхода: кодирование информации о высоте (координаты z) с помощью цвета и штриховка. Применение цветового кодирования приводит к воспроизведению контуров, что может быть полезно при решении некоторых прикладных задач, но не привлекательно ни эстетически, ни информативно. Использование штриховки позволяет получать изображения лучшего качества, однако требует

большего объема вычислений. Если все поверхности являются плоскостями, то эффект штриховки можно получить, окрашивая в один цвет или воспроизводя в одном уровне серого тона проекцию каждой видимой плоскости. Иногда этого оказывается достаточно для создания впечатления глубины изображения. Ряд проблем, осложняющих воспроизведение неплоских поверхностей, возникает из-за необходимости работать с их проекциями на некоторую плоскость, и, следовательно, решать задачу разделения видимых и невидимых элементов — дело в том, что одни точки поверхности могут заслонять другие. В частности, очертания проекции конечного участка поверхности с замкнутой границей не всегда совпадают с проекцией этой границы. Поскольку исчерпывающее обсуждение этих проблем выходит за пределы задач нашей книги, мы ограничимся здесь изложением лишь основных принципов.

При использовании растровых графических устройств для воспроизведения контуров достаточно просто установить некоторое соответствие между координатой и цветом или уровнем серого тона. Если плотность выборки точек достаточно высока, то контуры, соответствующие постоянному значению будут представляться кривыми постоянной яркости. При использовании векторных графических устройств эта задача становится существенно более трудной, так как соответствующие кривые приходится прослеживать на воспроизводимой поверхности.

Использование штриховки подразумевает наличие некоторого источника света, а также сведений об отражательных способностях воспроизводимой поверхности. Если источник света удален от освещаемого объекта на очень значительное расстояние, то можно считать, что все световые лучи параллельны и вид поверхности определяется исключительно ее собственными свойствами и ориентацией относительно источника света. Количество света, падающего на поверхность, пропорционально скалярному произведению нормали к поверхности и вектора 1, параллельного направлению освещения (рис. 13.3). (В разд. 13.2 было показано, как строятся нормали к поверхностям, задаваемым математическими описаниями.) Если поверхность является абсолютным зеркалом, то для вычисления яркости каждой ее точки можно воспользоваться фундаментальным законом отражения света: угол отражения равен углу падения. Наблюдатели могут видеть свет лишь в том случае, если их взгляд направлен должным образом. Пусть вектор,

Рис. 13 3. Отражение света от поверхности: — нормаль к поверхности, 1 — направление освещения источником света, — направление отраженного света — угол падения, — угол отражения света

параллельный этому правильному направлению; допустим также, что этот вектор, как и вектор 1, нормирован таким образом, что длина каждого равна единице. В таком случае биссектриса образуемого ими угла параллельна их сумме , следовательно, количество света, доходящего до наблюдателя, пропорционально скалярному произведению этого вектора и нормали к поверхности. Поверхность имеет наиболее яркий вид при равенстве указанного угла нулю и кажется черной при равенстве угла 90°. Этот тип отражения называется зеркальным и он лишь частично определяет общую яркость поверхности. Остальная яркость определяется диффузным отражением света. Это подразумевает, что отражение света одинаково по всем направлениям и различия в яркости определяются исключительно различиями количества падающего света. Следовательно, яркость, определяемая диффузным отражением, пропорциональна скалярному произведению векторов Очевидно, что при отрицательности скалярного произведения отраженный свет отсутствует полностью, поэтому нас должны интересовать лишь положительные значения этого скалярного произведения. Обозначив через зеркальное отражение и через диффузное отражение, запишем следующие соотношения:

Для определения значения общей яркости необходимо использовать сумму этих величин, взятых с некоторыми весами. Кроме того, имеются эмпирические данные, указывающие, что возведение в степень к позволяет придать большую реалистичность передаче наиболее ярких частей изображения, что оказывается недостижимым в противном случае (см. разд. 13.10). Итак,

где — коэффициент, учитывающий матовость поверхности, и — коэффициент, учитывающий глянцевитость поверхности. Естественно, важно соотношение значений коэффициентов и Некоторые авторы предлагают выбирать их, исходя из соотношения Имеется публикация, свидетельствующая о том, что выбор показателя степени к в диапазоне позволил получить очень выразительные изображения [13.2].

При практическом использовании приведенных формул необходимо определять нормаль в каждой точке воспроизводимой поверхности. Имеются сведения о различных способах приближения, предусматривающих вычисление значений яркости лишь в небольшом числе точек и последующее определение яркостей остальных точек при помощи интерполирования (см. разд. 13.10).

Пример 13.7. Воспользуемся выражением, определяющим нормаль к сфере, которое было получено в примерах 13.2 и 13.3, для построения заштрихованного изображения сферы. Будем считать, что соответствующая сфера освещается сверху, что наблюдатель смотрит на сферу по направлению

Рис. 13.4. (см. скан) Заштрихованные изображения сферы, полученные с помощью метода, который изложен в примере 13.7: слева — матовая сфера справа — глянцевитая оси х и что изображение воспроизводится в плоскости В таком случае и нормированная сумма этих двух векторов равна

Так как , находим, что

Из уравнения, определяющего сферу, находим, что , следовательно, уравнение (13 39) принимает вид

Это выражение нетрудно вычислить для различных значений У и удовлетворяющих условию 1 (см задачу 13 3). На рис. 13.4 приведены два изо. Сравнения сферы, в обоих случаях использовано