8.3.3. Дифракция Фраунгофера и Френеля.

Исследуем теперь подробно дифракционный интеграл Френеля — Кирхгофа (17)

Когда элемент пробегает область интегрирования, в общем случае будет изменяться на очень много длин волн; и поэтому множитель в будет быстро осциллировать. Кроме того, если расстояния от точек и Р до экрана велики по сравнению с линейными размерами отверстия, то множитель изменяется по отверстию незначительно. Далее, предполагая, что О это любая точка отверстия и углы, образованные линиями и с не слишком велики, можно заменить этот множитель на , где — угол между линией и нормалью к экрану И наконец, множитель можно заменить на где и — расстояния от точек и Р до начала координат; тогда (22) сведется к

Рис. 8.5. Дифракция на отверстии в плоском экране

Возьмем за начало декартовой системы координат точку О отверстия, а оси выберем в плоскости отверстия. Будем считать, что ось направлена в сторону полупространства, в котором находится точка наблюдения Р (рис, 8.5).

Пусть — координаты точек и Р соответственно, а — координаты точки отверстия; тогда

Следовательно,

Мы предположили, что линейные размеры экрана малы по сравнению с и и поэтому можем разложить и в степенные ряды по тогда получим

Подстановка (27) в (23) дает

Если мы обозначим первые два направляющих косинуса через , т. е.

то (29) можно переписать в виде

Мы свели задачу определения светового возмущения в Р к вычислению интеграла (28). Конечно, оно упростится, если в пренебречь квадратичными членами и членами более высоких порядков относительно и . В этом случае мы имеем дело с дифракцией Фраунгофера; если же квадратичными членами пренебречь нельзя, — то с дифракцией Френеля. К счастью, более простой случай дифракции Фраунгофера представляется в оптике значительно более важным.

Строго говоря, члены второго и более высоких порядков исчезают только в предельном случае т. е. когда и источник, и точка наблюдения находятся в бесконечности (тогда надо допустить, что и множитель А перед интегралом стремится к бесконечности так же, как Однако очевидно, что вклад членов второго порядка в интеграл невелик, если

Можно сразу же указать определенные условия, при которых (32) удовлетворяется. Для этого воспользуемся неравенством вида , вспомнив, что II, не превышают единицы, получим, что (32) удовлетворяется, если

или если

Условия (33) позволяют оценить расстояния и при которых применимо приближение Фраунгофера. Условия (34) означают, что дифракция Фраунгофера имеет место и тогда, когда точка наблюдения находится в плоскости, параллельной плоскости отверстия при условии, что точка наблюдения и источник света достаточно близки к оси Здесь следует различать два случая. Если отрицательно, то падающие на отверстие волновые фронты имеют вогнутость в направлении распространения и точка является центром схождения, а не расхождения падающей волны. Этот случай очень важен для практики, так как осуществляется в пространстве изображений хорошо коррегированной центрированной системы, изображающей точечный источник, расположенный недалеко от оси. Дифракционная картина Фраунгофера образуется в параксиальной плоскости изображений и может рассматриваться как результат дифракции, дающей изображения волны на выходном зрачке. Если положительно, то волновые фронты имеют выпуклости в направлении распространения; дифракционные картины оказываются мнимыми и кажутся образованными на экране, проходящем через источник Этот случай имеет место, например, тогда, когда отверстие в экране находится непосредственно

перед глазом или когда установка объектива зрительной трубы соответствует рассматриванию удаленного источника света.

Чтобы составить ясное физическое представление о том, почему дифракционная картина Фраунгофера наблюдается в фокальной плоскости хорошо коррсгированного объектива, сравним сначала две ситуации, показанные на рис. 8.6. На рис. 8.6, а пучок лучей от бесконечно удаленной точки падает на отверстие в направлении, определяемом направляющими косинусами Можно считать, что дифракция, наблюдаемая в направлении в очень удаленной точке Р, возникла в результате суперпозиции плоских волн, исходящих из каждой точки отверстия в этом направлении.

Рис. 8.6. Сравнение двух случаев дифракции Фраунгофера.

Такие волны (не существующие в рамках геометрической оптики) можно назвать дифрагировавшими волнами, а соответствующие волновые нормали — дифрагировавшими лучами.

Если теперь поместить хорошо коррегированный объектив позади экрана (см. рис. 8.6, б), то весь свет, дифрагировавший и направлении соберется в фокусе Р в фокальной плоскости объектива. Так как длины оптических путей всех лучей, приходящих в Р от волнового фронта дифрагировавшего пучка, равны, то по существу интерференционные эффекты остаются такими же, как и в первом случае, конечно, при условии, что объектив так велик, что не вносит дополнительной дифракции. Более общее ограничение, состоящее в том, что на отверстие должна падать плоская волна, также можно снять, если длины путей от источника до Р примерно одинаковы для всех лучей.

В случае дифракции Фраунгофера четыре величины входят в (31) только в комбинации

Следовательно, в той области, где справедливо упомянутое выше приближение, картина не изменится, если отверстие сместцтся в своей собственной плоскости. 1

Запишем интеграл, описывающий дифракцию Фраунгофера, в виде

здесь С — величина, стоящая перед интегралом (28). С определяется через величины, связанные с положениями источника и точки наблюдения; однако на практике часто удобнее выражать ее через другие величины. Пусть Е — полная энергия, падающая на отверстие. По закону сохранения энергии вся энергия, достигающая плоскости наблюдения, должна равняться поэтому

должно выполняться нормирующее условие

здесь интегрирование производится по всем возможным значениям величин Уравнение (36) можно записать теперь в виде интеграла Фурье

где — функция зрачка, определяемая как

а интеграл берется по всей -плоскости.

По теореме Парсеваля для фурье-преобразования [18] имеем

или, используя (37) и (39) и обозначая площадь отверстия через

откуда

Тогда, основной интеграл, описывающий дифракцию Фраунгофера, принимает вид

Следует обратить внимание, что интенсивность в центре картины, где равн

При выводе (43) мы пренебрегли тем, что формула (36) была получена для ограниченной области величин и Однако ошибка, вносимая при распространении интегрирования в (40) на все значения и ничтожна, так как величина очень мала всюду, за исключением области, находящейся в непосредственной близости от точки

Однако вернемся к основному интегралу (28) теории дифракции. Когда точка пробегает область интегрирования, функции изменяется на очень много длин волн; поэтому вещественная и мнимая части подынтегрального выражения многократно изменяют знак. В общем случае вклады от различных элементов фактически уничтожают друг друга (деструктивная интерференция). По для элементарного участка, окружающего точку (назовем ее критической точкой или полюсом), где постоянна, положение другое. Здесь подынтегральное выражение изменяется значительно медленнее, и можно ожидать, что его вклад станет заметным. Поэтому, если длина волны достаточно мала, величина интеграла, по существу, определяется поведением вблизи точек, где постоянно. Это является основой метода стационарной фазы, позволяющего определить асимптотическое поведение интегралов определенного класса (более подробно он разбирается в приложении 3). Ниже мы

используем предыдущие результаты для классификации дифракционных явлений.

Сравнивая (22) и (28), мы видйм, что и поэтому (см. рис. 8.5)

Очевидно, рассматриваемая как функция постоянна, когда коллинеарно с и Р. Следовательно, основной вклад в возмущение в точке Р поступает от точек, находящихся в непосредственной близости к точке в которой линия, соединяющая источник с точкой наблюдения, псресекаст плоскость отверстия. В частном случае дифракции Фраунгофера, Р, и Р находятся в бесконечности и особой точки не существует. Следовательно, в данном случае поведение дифракционного интеграла должно быть необычным.

В § 8.5-8.8 мы рассмотрим наиболее важные случаи дифракции Фраунгофера и Френеля. Но сначала следует убедиться, что при вычислении интенсивности света мы вправе пользоваться скалярной волновой функцией