§ 10.7. Строгая теория частичной когерентности

10.7.1. Волновые уравнения для взаимной когерентности.

Некоторые теоремы, выведенные выше и относящиеся к корреляционным функциям, во многих чертах подобны теоремам, относящимся к самому комплексному возмущению. Например, формула Ван-Цитгерта — Цернике (10.4.21) для комплексной

степени когерентности в плоскости, освещаемой протяженным квазимонохроматическим первичным источником, оказывается идентичной формуле для комплексного возмущения в дифракционной картине, возникающей при дифракции на отверстии, размеры и форма которого совпадают с размерами и формой источника. Другим примером служат законы распространения взаимной интенсивности (см. (10 4.45)); как мы видим, они похожи на принцип Гюйгенса — Френеля. Теоремы, относящиеся к комплексному возмущению, можно рассматривать как приближенные положения, вытекающие из некоторых строгих теорем, а именно формул Гельмгольца и Кирхгофа (см. (8.3.7), (8.3.13)). Последние вытекают из положения, согласно которому световое возмущение распространяется, как волна. Указанная аналогия наводит на мысль, что корреляция также распространяется, как волна и что наши теоремы являются приближенными формулировками каких-то соответствующих теорем типа Гельмгольца—Кирхгофа. Нетрудно показать, что это действительно так.

Рассмотрим стационарное волновое поле в вакууме. Пусть — возмущения в точках соответственно Удобно вначале выразить взаимную функцию когерентности в более симметричной форме

Далее пусть

— лапласиан по декартовым координатам точки Действуя этим оператором соотношение (1) и изменяя порядок различных операций, получим

Вещественная часть величины представляет истинное физическое волновое поле (например, декартову компоненту электрическом векторной волны) и, следовательно, удовлетворяет волновому уравнению

Мнимая часть величины , а значит и также удовлетворяет волновому уравнению; последний результат получается сразу же, если применить преобразование Гильберта к обеим частям (4а) и использовать следующее утверждение: если каждая из двух функций получается одна из другой преобразованием Гильберта, то та же зависимость справедлива и для их производных. Следовательно,

Отсюда следует, что в правой части (3) можно заменить на . Вновь

изменяя порядок операций, получим

т. е.

Совершенно аналогичным образом находим

где лапласиан по координатам точки

Для стационарного поля Г зависит от и лишь через разность . Поэтому, как и раньше, можно записать . В этом случае и вместо (5) мы получим

Таким образом, в вакууме взаимная функция когерентности удовлетворяет двум волновым уравнениям. Каждое из них описывает изменение взаимной когерентности, когда одна из точек или фиксирована, а другая точка и параметр меняются. Величина представляет собой разность времен между моментами, в которые рассматривается корреляция в этих двух точках. Во всех экспериментах входит только в комбинации , т. е. как разность хода. Таким образом, само время исключено из окончательного описания поля. Эта особенность теории частичной когерентности весьма привлекательна, так как в оптических волновых полях истинные временные изменения совершенно невозможно обнаружить. Основную величину в предложенной теории, взаимную функцию когерентности можно непосредственно измерить, например, с помощью интерференционных экспериментов, описанных в §§ 10.3 и 10.4.