11.5.3. Характер решения.

Теперь исследуем подробнее характер результатов, полученных в п. 11.5.2. Из приведенного там вывода очевидно (и это можно прямо проверить), что есть решение двумерного волнового уравнения при любом значении здесь интересно отметить, что оно имеет

периодичность , следовательно, исчезает т. е. на обеих поверхностях экрана, но не исчезает при . Зоммерфельд пришел к своему решению (22), пытаясь найти соответствующее решение волнового уравнения с периодом и объединяя это решение с его «изображением», Кстати, из (28) вытекает, что выражения

также служат решениями двумерного волнового уравнения, и этот результат хорошо известен.

Следует исследовать еще поведение (26) при . Это очевидно и будет в дальнейшем главной темой, обсуждаемой в данном разделе.

Привлекательной чертой задачи с полуплоскостью является то, что в любой точке поле можно найти, пользуясь таблицей интегралов Френеля. Кроме того, в двух особо интересных случаях, а именно при пригодны простые приближения к интегралам Френеля (см. п. 8.4.2). Первое условие, без сомнения, всегда выполняется в оптических экспериментах, где точка наблюдения находится, вероятно, на расстоянии миллионов длин волн от дифракционного края; второе условие выполняется при изучении поведения поля вблизи острого края. Этот случай можно изучать на сантиметровых радиоволнах (см. п. 11.5.6).

Случай . В данном случае велики по сравнению с единицей, за исключением значений , достаточно близких к соответственно. Для определенности введем пять областей, как показано на рис. 11.9.

Рис. 11.9. Пять областей, в которых описывается поведение поля при дифракции плоской волны на идеально проводящей полуплоскости.

Рис. 11.10 Три области геометрической оптики при дифракции плоской волны на идеальна проводящей полуплоскости.

За уравнения кривых, ограничивающих области II и IV, примем соответственно Следовательно, эти кривые имеют вид парабол с фокусами в начале координат и осями . В глубине области II (т. е. внутри параболы где далеко от области II (т. е. вне параболы , где ). Аналогичные соотношения получим и для и области IV. Кроме того, при как и, так и отрицательно; при и отрицательно, но положительно; при как а, так и положительно.

Области I, III и V, очевидно, тесно связаны с теми областями, которые появились бы в рамках геометрической оптики, где свет распространяется по прямым линиям. Перечислим их: область тени позади экрана, где поля нет совсем, освещенная область, где существует только падающая плоская волна и область отражения, где одновременно присутствуют падающая плоская волна и отраженная плоская волна, соответствующая отражению от бесконечного экрана (рис. 11.10). Вообще говоря, в областях II и IV осуществляется плавный переход от точного решения в одной области геометрической оптики к решению в соседней области. Прежде чем показать это более подробно, мы должны

задержаться, для того чтобы вывести асимптотическое приближение для интеграла Френеля при больших значениях аргумента.

Если а положительно, можно написать

дважды интегрируя по частям, получим

Продолжая этот процесс и дальше, можно получить полное асимптотическое разложение для но сейчас нам важно заметить только, что модуль интеграла в последнем члене меньше чем

Отсюда имеем

Здесь интересно отметить, что этот результат можно было получить и общим методом, описанным в к. 11.5.2, который в данном случае сводился бы к разложению множителя в подынтегральном выражении (18) в ряд степеням тик интегрированию каждого его члена.

Если а отрицательно, то левая часть (30) расходится, но этот случай легко рассмотреть, используя (21) совместно с результатом, полученным для положительных значений аргумента. Таким образом,

То обстоятельство, что асимптотическое приближение (31) для положительного а и (32) для отрицательного а различны, есть частный случай явления Стокса [22]. Напишем теперь

где — поле геометрической оптики, определяемое как

а — поле дифракции, представляющее собой просто то поле, которое следует добавить к полю геометрической оптики, чтобы получить полное поле. Теперь при находим из (26), используя (31) и (32),

в точках, не слишком близких к областям II и IV (в смысле, указанном выше). Легко видеть либо из (23), либо из (27), что в том же приближении, как и в (34), компоненты равны . Очевидно, (34) означает, что поле дифракции ведет себя так, как будто оно порождается линейным источником, расположенным вдоль дифракционного края, с «полярной диаграммой», изменяющейся с углом, как было определено выше. Это находится в

согласии с экспериментальным фактом, что дифракционный край кажется светящимся, если он рассматривается из области тени.

Когда приближается к нулю, соотношение (34) становится неверным, и нужно обратиться к точному решению. Так как

то из (26) следует, что при

а при

Следовательно, вблизи поле дифракции имеет тот же порядок, что и падающее поле. В частности, в бесконечности переход между полями геометрической оптики в соседних областях происходит через их среднее арифметическое.

Рис. 11.11. Дифракция нормально падающей поляризованной плоской волны единичной амплитуды на идеально проводящей полуплоскости. Изменение от х на расстоянии трех волн позади экрана.

Интерференция поля геометрической оптики с полем дифракции в областях, где они сравнимы, вызывает возникновение полос. Они видны на рис. 11.11, который будет обсуждаться ниже.

Случай . В данном случае малы по сравнению с единицей, и полезно использовать разложение в ряд интеграла Френеля. Напишем

разлагая экспоненту в подынтегральном выражении второго интеграла, получим

Таким образом, из (26) и (28) находим, пренебрегая членами с в степени, большей половины,

Необходимо отметить, что конечно и непрерывно при но и расходятся как исключение составляют случаи когда , а также когда Такое поведение

функции, необычное для физических задач, является, конечно, следствием идеализированного представления о бесконечно остром крае. В этом случае существование сингулярностей у компонент поля должно быть учтено при формулировке любой теоремы, относящейся к единственности решения (см. ниже, § 11.9).

Мы закончим наше исследование решения рассмотрением плотности тока» индуцированного в дифракционном экране. Она равна произведению на разность значений при . Таким образом, из (28) находим

При последнее соотношение принимает вид

Полученный результат интересен тем, что он показывает ту степень приближения, с которой величину плотности тока можно считать совпадающей с величиной, получающейся в рамках геометрической оптики; это обычный метод в задачах, которые невозможно решить точно. Очевидно, что введенное выше допущение т. е. разумно только для значений не близких к ; оно имеет смысл потому, что при «остаточный» член в (41) стремится к пулю, как а не как

Вместе с тем при

и расходится на дифракционном крае.