4.7. Циклические системы

Допустим, что имеются две кодовые (последовательности где номер элемента. Положим, что и символы этих последовательностей, принадлежат мультипликативной комплексно-сопряженной

-ичной группе. Если то будем называть сигнал многофазным. Кодовым последовательностям можно поставить в однозначное соответствие кодовые последовательности символы которых принадлежат аддитивным -ичным группам. При символами последовательностей являются символами последовательностей и 1 Образование КФ сводится к перемножению символов и где знак комплексной сопряженности с последующим суммированием. При переходе к символам определяется через разности этих символов по

Для построения циклической системы ФМ сигналов надо выбрать кодовые последовательности обладающие следующим циклическим свойством: разность по кодовой последовательности и ее циклической перестановки является другой циклической перестановкой исходной кодовой последовательности, т. е.

где Циклические перестановки получаются так: исходная кодовая последовательность где продолжается периодически, т. е. записывается в виде бесконечной последовательности

Исходная последовательность начинается с символа и заканчивается символом Циклическая перестановка начинается с символа а при и заканчивается символом при

Аналогично (4.85) определяется циклическое свойство последовательности а именно:

Равенства (4.85), (4.86) выполняются для М-последовательностей в соответствии с аддитивно-циклическим свойством и для последовательностей, построенных по правилу

где первообразный корень уравнения

и является простым числом, Для последовательностей вида (4.87)

Так как первообразный корень, то и поэтому при Следовательно, где и из (4.89) имеем

что и определяет равенство (4.85). Пусть последовательности обладают циклическим свойством (4.85), (4.86). Циклическая система [17] состоит из последовательностей где символы которых определяются равенством

Каждая последовательность циклической системы равна разности между последовательностью и циклической перестановкой т. е.

Можно доказать, что последовательности системы (4.92) являются симплексными. Отметим, что циклические системы являются производными, так как система последовательностей является исходной, а последовательность производящей.

Корреляционные функции циклических систем. Поскольку символы последовательностей относятся к мультипликативной группе, то взаимокорреляционная функция (ВКФ) определяется следующим образом:

Используя свойства образующих последовательностей (4.85), (4.86) и определение (4.91), запишем

где некоторые циклические перестановки образующих последовательностей.

Обозначим периодическую ВКФ образующих последовательностей (4.94)

а периодическую ВФН

где определяет дискретные значения доплеровской частоты.

Известна оценка ВКФ сигналов циклической системы

где

Для построения системы минимаксных сигналов (у которых максимальные пики минимальны) необходимо, чтобы периодические ВКФ и ВФН образующих сигналов имели малые боковые гшки. В общем случае регулярного метода построения таких сигналов нет.

Для двоичных М-последовательностей известен метод Голда [17, 40], позволяющий выбирать пары образующих -последовательностей. Этот метод основан на выборе последовательностей в соответствии со свойствами многочленов. Каждой М-последовательности длины где некоторое целое число, соответствует свой неприводимый многочлен степени Неприводимым называется такой многочлен, который не может быть представлен в виде произведения многочленов с меньшими степенями. Каждому корню

многочлена степени может быть поставлен в соответствие элемент поля Галуа (кодовая последовательность полного кода длины за исключением элемента, состоящего из одних нулей). Всего ненулевых элементов имеется Корень а, все степени которого дают различные элементы поля, называется первообразным примитивным. Неприводимый многочлен, одним из корней которого является примитивный элемент поля, называется примитивным. В соответствии с методом Голда образующим М-последовательностям должны соответствовать примитивные многочлены, корнями которых являются для первой и для второй последовательностей, где I — любое целое число, взаимнопростое с Выбираются такие последовательности достаточно просто с помощью таблиц неприводимых многочленов [14]. Если М-последовательности выбраны по методу Голда, то их периодические ВКФ являются трехуровневыми, т. е. принимают только три значения [17, 40]:

Вероятности появления этих значений следующие:

Периодические ВКФ циклической системы могут принимать только значения (4.99), причем вероятности (4.100) соответствуют случаю усреднения по всем ВКФ всех циклических перестановок. Дисперсия периодических ВКФ по определению Отметим, что максимальные боковые пики для полного кода можно оценить по формуле в то время как (4.99) дает значения в два раза меньше.

Таким образом, оценка первого слагаемого в (4.97) дается максимальным значением (4.99), равным Максимум модуля периодической ВФН

Подставляя в (4.97) оценки (4.99), (4.101), находим оценку максимальных ликов ВКФ циклической системы:

Пример расчета. Для трех значений найдены оценки максимальных боковых пиков ВКФ циклических систем. Результаты расчета приведены в табл. 4.11.

Таблица 4.11. Характеристики циклических систем

Как видно из табл. 4.11, оценки достигают больших значений и существенно превышают утроенное среднеквадратнческое значение Это объясняется тем, что данные оценки пропорциональны На самом деле максимальные пики будут меньше. Были рассчитаны все АКФ и ВКФ циклической системы для Образующие М-последовательности строились на основе примитивных многочленов Многочлену соответствует последовательность с начальными условиями многочлену -последовательность Нормированное значение максимальных боковых пнков удовлетворяет неравенству , что близко к значению табл. 4.11.

Последовательности Касами. Образование циклических последовательностей при аддитивных символах согласно (4.91) можно записать символически, вводя задержку При этом правило образования циклической системы (4.91) можно представить следующим образом:

где символ означает посимвольное умножение последовательностей а произведение является символом сдвинутым на тактов, Число всех последовательностей равно так как имеется всего сдвигов плюс две исходные последовательности.

Касамн [41] предложена система ФМ сигналов, которая получается посимвольным перемножением М-последовательности с периодом и М-последовательности с периодом причем используются циклические сдвиги Поэтому система Касамн получается аналогично (4.103), но В результате число последовательностей

Поэтому систему Касами с объемом (4.104) называют малой. Максимальные пнки ВКФ малой системы Касами удовлетворяют соотношению

Большая система Касами [41] получается при посимвольном перемножении двух М-последовательностей с периодами образующих циклическую систему (4.103), на М-последовательность с периодом причем четно. Таким образом, символически алгоритм формирования большой системы Касамн записывается следующим образом:

где -последовательности периода -последовательность периода — символы сдвига, При объем системы равен , а при он равен При больших объем большой системы Касами

т. е. в раз больше объема нормальной системы. Корреляционные свойства большой системы Касами удовлетворяют оценке (4.105). В табл. 4.12

Таблица 4.12. (см. скан) Циклические системы последовательностей

приведены данные [41] по системам ФМ сигналов, являющихся последовательностями Голда, Касами и родственных им.

В первом столбце указана длина последовательностей, во втором — образующий полином, представленный в восьмиричной записи, в третьем — число последовательностей, в четвертом — значения периодических ВКФ, в пятом — названия систем и последовательностей.

Таким образом, циклические системы Голда и Касами позволяют строить нормальные и большие системы ФМ сигналов.