5.3. Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптимальных систем ДЧ сигналов

Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптимальных систем ДЧ сигналов приведены в [6]. Они были получены на основе теории чисел. В табл. 5.3 приведены алгоритмы построения последовательностей удовлетворяющих сравнению (5.17). В табл. 5.3 приведены правила образования последовательностей ограничения, налагаемые на определенные коэффициенты; объем системы и оценка ВКФ.

В первой строке табл. 5.3 число а — первообразный корень по модулю простого числа Все остальные правила основаны на степенных сравнениях

Таблица 5.3. (см. скан) Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптимальиых систем ДЧ сигналов

по модулю простого числа М. В четвертой строке числа взаимно-простые, т. е.

Первая строка табл. 5.3 дает алгоритм построения оптимальной системы с максимальным объемом равным числу элементов в сигнале М, а вторая и четвертая строки дают алгоритмы, при которых

Остальные строки табл. 5.3 дают алгоритмы построения систем, близких к оптимальным, но большего объема.

Обратимся к примерам. Сначала рассмотрим систему сигналов, построенную согласно правилу первой строки. Положим т. е. Символы кодовых последовательностей определяются сравнением . В качестве первообразного корня по модулю 7 возьмем После вычислений получаем следующую систему последовательностей:

В системе (5.31) кодовыми последовательностями являются строки, которые представляют циклические перестановки. В соответствии со значениями

цифр необходимо располагать элементы по времени, т. е. строки (5.31) являются временными кодовыми последовательностями. Сигналы, построенные в соответствии с кодовыми последовательностями (5.31), приведены на рис. 5.3. Номер сигнала соответствует номеру строки. По горизонтали отсчитывается время, по вертикали — частота.

Рис. 5.3. Оптимальная система ДЧ сигналов

Если положить и в качестве первообразного корня по модулю 11 положить то имеем следующую систему:

Рассмотрим системы, построенные согласно правилу второй строки табл. 5.3. Положим После вычислений имеем систему кодовых последовательностей

В отличие от последовательностей (5.31), (5.32), кодовые последовательности (5.33) могут быть использованы и в качестве временных, и в качестве частотных. Сигналы, построенные в соответствии с кодовыми последовательностями (5.33), изображены на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Оптимальная система ДЧ сигналов

При имеем следующую систему:

Рассмотрим системы, построенные согласно правилу четвертой строки табл. 5.3. Положим После вычислений имеем систему:

Соответствующая система сигналов приведена на рис. 5.5. Прн получим следующую систему кодовых последовательностей:

Как видно из табл. 5.3, объем оптимальных систем ДЧ сигналов (с одним совпадением) удовлетворяет следующему соотношению

Равенства (5.37) являются фундаментальными для систем ДЧ сигналов [47]. Взаимное расположение элементов ДЧ сигнала определяется задержками их друг относительно друга, т. е. интервалами между ними.

Рис. 5.5. Оптимальная система ДЧ сигналов

Число возможных различных интервалов (положительных и отрицательных) между парой произвольных элементов равно Возьмем два произвольных ДЧ сигнала. В каждом из выберем две произвольные пары элементов на совпадающих частотах (на одинаковых частотных строках). Если интервал между парой элементов у одного сигнала не равен интервалу между парой элементов второго сигнала, то при взаимном сдвиге по времени эти пары дадут не более одного совпадения. Два совпадения возможны только тогда, когда интервал между выделенными элементами одного сигнала равен интервалу между элементами второго сигнала. Таким образом, чтобы две частотные строки двух сигналов давали не более одного совпадения, интервалы между элементами сигналов необходимо выбирать различными.

Так как число различных интервалов между парой элементов равно то можно образовать пар частотных строк, дающих при любом временном сдвиге не более одного совпадения. Допустим, что ДЧ сигнал имеет четное М. Такой сигнал состоит из пар частотных строк. Рассмотрим сначала процесс образования пар для положительных интервалов, число которых равно Поэтому первую пару частотных строк (произвольных в

общем случае в сигнале) можно выбрать способом. При этом будет использован и максимальный интервал, равный Так как в рассматриваемых ДЧ сигналах элементы не могут занимать одинаковые временные интервалы, то для последующих пар частотных строк нельзя использовать интервал, равный Поэтому на вторую пару частотных строк приходится различных интервала, причем максимальный равен Точно так же на третью пару частотных строк приходится различных интервала, на пару — интервалов. Так как в сигнале всего пар, то на последнюю пару приходится различных интервалов. Из интервалов можно образовать только частотных строк, которые дадут не более одного совпадения. Учитывая отрицательные интервалы, получаем, что максимальное число оптимальных сигналов, которое можно объединить в систему, при четном М равно М. При нечетном М таким же методом можно показать, что число оптимальных сигналов в системе будет равно Таким образом, объем оптимальной системы определяется соотношением (5.37).

Из приведенного доказательства следует, что свойства оптимальной системы ДЧ сигналов зависят от интервалов между элементами сигналов. Если одновременно произвести перестановку частотных строк с одинаковыми номера» всех ЧВМ, то интервалы между элементами сигналов не изменятся. Следовательно, такие перестановки частотных строк дают новые системы ДЧ сигналов.

Рис. 5.6. Перестановка строк ЧВМ ДЧ сигналов

На рис. 6.6, б приведены мовой оптимальной системы ДЧ сигналов, полученной из системы с ЧВМ рис. 5.6, а путем перестановки первой строк» (нижней) всех матриц на рис. 5.6, а на третье место, а шестой строки — на четвертое место. Кодовые последовательности новой системы имеют вид

Сравнивая (5.38) с (5.31), замечаем, что перестановка строк ЧВМ рис. (или 5.3) соответствует перестановкам столбцов в (5.31): первый и шестой столбцы (5.31) перемещены на третье и четвертое места.

С комбинаторной точки зрения образование новых оптимальных систем ДЧ сигналов сводится к перестановкам из М элементов, поскольку осуществляются перестановки М частотных строк. Поэтому с учетом всех перестановок число различных оптимальных систем ДЧ сигналов будет не меньше, чем

Обратимся теперь к квазиоптнмальным системам, которые имеют больший уровень ВКФ, но обладают и большим объемом. Сначала рассмотрим систему, правило построения которой приведено в третьей строке табл. 5.3. Положим, что меняются в пределах: Число сигналов в системе равно сигналы имеют частотные элементы, совпадающие по времени, что в свою очередь приводит к появлению пробелов в сигнале по времени и к ухудшению его пик-фактора. Максимум ВКФ таких сигналов равен 2/7.

Рассмотрим систему сигналов, построенную согласно правилу шестой строки табл. 5.3. Положим, что изменяется от 0 до 6. Число таких сигналов равно а максимум ВКФ равен 3/7. Сигналы этой системы имеют еще большее число совпадений элементов по времени, чем предыдущие сигналы, и еще большее число пробелов по времени. Поэтому система сигналов, полученная с помощью этого правила, уступает по своим свойствам системе сигналов, построенной по правилу третьей строки.

Исследования [48] показали, что объединением всех возможных оптимальных систем, построенных по любому из приведенных алгоритмов при различных значениях одного из параметров или в одну общую систему можно получить систему ДЧ сйгналов существенно большего объема с ограниченным уровнем пиков ВКФ. Максимальное значение пиков ВКФ и объем полученной системы зависят от выбора алгоритма и изменяемого параметра. Такие системы называются композиционными [48].

Очевидно, максимальный объем композиционной системы определяется числом всех различных оптимальных систем, которые можно построить по данному алгоритму путем изменения выбранного параметра.

Взяв в качестве исходного алгоритм первой строки табл. 5.3, изменению может быть подвержен только параметр а, так как изменение ведет лишь к перенумерации сигналов в системе. Число оптимальных систем, которые можно построить по данному алгоритму, сравнительно невелико (а следовательно, и объем композиционной системы) и равно числу первообразных корней по простому модулю не превосходящих по величине М, так как при полученные оптимальные системы повторяют уже найденные. Так, при таких систем две, при — четыре и т. д.

Аналогично, при нспользованнн второго алгоритма (четвертой строки табл. 5.3) и изменении параметра различные оптимальные системы получаются при а следовательно, максимальный объем композиционной системы также относительно невелик и равен где функция Эйлера. В обоих случаях уровни ВКФ для сигналов больших баз образующих систему максимального объема, могут оказаться хотя и ограниченными, но недопустимо большими (порядка 50% от главного пика АКФ). Однако за счет сокращения числа объединяемых оптимальных систем, т. е. за счет уменьшения объема композиционной системы, можно получить заданный уровень пиков ВКФ. Ввиду указанных недостатков приведенных композиционных систем, следует отдавать предпочтение другому алгоритму построения композиционной системы, подробно рассматриваемому ниже.