§ 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум
а. В § 1 гл. 2 нами была выяснена связь, которая существует между возрастанием и убыванием функции
и знаком ее первой производной
Именно:
в интервалах возрастания функции
в интервалах убывания функции
Например, функция, график которой изображен на рис. 18, возрастает в интервалах
и убывает в интервалах
Рис. 18
В первых пяти интервалах
положителен, в четырех последних
отрицателен.
b. Особенно следует отметить точки
нашего графика, отвечающие абсциссам
Во всех этих точках касательная параллельна оси абсцисо и, следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю, то есть
c. В частности, когда
возрастая, проходит значение
функция
переходит от возрастания к убыванию. При
имеет максимум. Нетрудно видеть, что, кроме
наша функция имеет максимумы и при
Когда
возрастая, проходит значение
переходит от убывания к возрастанию. При
имеет минимум. Нетрудно видеть, что, кроме
наша функция имеет минимумы и при
Когда
возрастая, проходит значение
функция
переходит от убывания к убыванию. Мы видим, что при
происходит лишь некоторое замедление в убывании функции.
имеет точку замедления при
(точки замедления — частный вид точек перегиба, о которых будет сказано позднее).
Точно так же
имеет точку замедления и при
только при
переходит от возрастания к возрастанию.
f. Пример. Для функции
(рис. 19) имеем
Производная у отрицательна при отрицательных
и положительна при положительных
Значит, рассматриваемая функция (график ее — парабола) убывает, когда
пробегает отрицательные значения, и возрастает, когда
пробегает положительные значения.
Рис. 19
Рис. 20
При
имеем
причем функция переходит от убывания к возрастанию, т. е. при
наша функция имеет минимум.
g. Пример. Для функции
имеем
Мы видим, что у все время положительна (как при отрицательных, так и при положительных значениях
), кроме значения
когда она равна нулю. Значит, рассматриваемая функция все время возрастает и только при
имеет точку замедления (рис. 20).