Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 16. Упражнения1. Доказать, что 2. Доказать, что 3. Показать, что 4. Показать, что вершина параболы 5. Доказать, что у, заданная как функция
(циклоида), возрастает в интервале 6. Доказать, что 7. Доказать, что функция Доказать, что при
9. Построить график функции 10. Построить график функции
на отрезке [0, 4]. 11. Построить график функции
на отрезке 12. Построить график функции
в интервале 13. Построить график функции
в интервале 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке 15. То же самое для функции
на отрезке 16. То же самое для функции
на отрезке 17. То же самое для функции
на отрезке [3,9]. Ответ: наибольшее значение 18. То же самое для функции
на отрезке [1,2]. Ответ, наибольшее значение 19. Требуется огородить каменной стеной прямоугольную площадку, причем известно, что материала хватит только в том случае, если общая длина стен будет не больше а 20. Имеется жестяной лист, имеющий форму квадрата со стороною а см. Из него по углам вырезаны и удалены малые квадраты со стороною 21. Та же самая задача, но для листа, имеющего форму прямоугольника с основанием 48 см и высотою 18 см (рис. 37). Ответ: 22. То же самое, если основание 8 см и высота 5 см. Ответ: 23. Требуется построить пятистенку с наибольшей полезной площадью. При этом известно, что сумма длин стен этой пятистенки должна равняться
Рис. 36
Рис. 37 Найти, каковы должны быть длины стен (рис. 38). Ответ: длина малой стены 24. Ту же, по существу, задачу можно поставить иначе. Требуется построить пятистенку с данной полезной площадью
Рис. 38
Рис. 39 Какой формы должна быть пятистенка, чтобы количество затраченного на нее материала (стены) было наименьшим? Ответ: длина малой стены 25. В сегмент параболы 26. В эллипс
вписать прямоугольник наибольшей площади (стороны параллельны координатным осям). Ответ: основание 27. Из листа жести, имеющего форму круга радиуса R, вырезать такой сектор, чтобы, свернув, получить воронку наибольшей вместимости
Рис. 40.
Рис. 41 28. В точке М на вертикальной стене висит электрическая лампочка, которая может передвигаться по стене вверх и вниз (рис. 41). Спрашивается, как надо подвесить эту лампочку, чтобы получить наилучшее освещение в точке N (например, Указание. Освещенность
где с — постоянная. 29. Из пунктов А а В, расположенных на берегу озера, одновременно выходят два судна (рис. 42), которые плывут по взаимно перпендикулярным направлениям AM и BN. Указать момент наибольшей близости обоих судов, если известно, что 30. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема. Ответ; радиус основания конуса в 3/2 раза больше радиуса основания цилиндра. 31. Из круглой балки надо выпилить балку формы, указанной на рис. 43 пунктиром.
Рис. 42
Рис. 43 При каких условиях эта балка будет иметь наибольшее поперечное сечение? Ответ: 32. Точка перемещается в среде 1 со скоростью и в среде II со скоростью
Рис. 44
Рис. 45 Как она должна двигаться, чтобы, идя из точки 33. Имеется высокая башня и некоторый предмет длиною а, лежащий на земле в одной плоскости с башней (рис. 45). На какую высоту надо подняться, чтобы видеть предмет под наибольшим углом зрения? Ответ 34. Требуется сделать жестяное корыто формы, указанной на рис. 46 (основание — полукруг). Какими должны быть размеры этого корыта, чтобы при одном и том же количестве материала вместимость его была наибольшей?
Рис. 46
Рис. 47 35. Какими должны быть размеры кастрюли (рис. 47), чтобы при одном и том же количестве материала, затраченного на ее изготовление, она имела наибольшую вместимость? Ответ: радиус 36. Доказать, что кривая
выпукла вниз. 37. Доказать, что кривая
выпукла, вверх. 38. Доказать, что кривая
при положительных 39. Доказать, что тангенсоида
при отрицательных 40. Доказать, что синусоида в интервале 41. Построить кривую 42. Построить кривую 43. Дать более детальное построение кривой задачи 9. 44. То же для задачи 10. 45. То же для задачи 11. 46. То же для задачи 12.; 47. То же для задачи 13. Ответы к задачам 41—47 см. на рис. 48.
Рис. 48 48. Исследуя знак первой производной, найти максимумы и точки замедления функции 49. То же для функции 50. То же для функции 51. То же для функции 52. То же для функции 53. Задачу 48 решить исследованием знака высших производных. 54. То же для задачи 49. 55. То же для задачи 50. 56. То же для задачи 51. 57. То же для задачи 52. 58. Подобным же путем произвести исследование в задаче 41. 59. То же сделать для задачи 42. 60. Построить график функции 61. Построить график функции 62. Найти дифференциал дуги и направляющие косинуо и синус касательной для эллипса
в точке о абсциссою 63. То же самое для астроиды 64. Найти выражение радиуса 65. То же самое для астроиды Ответ: 66. Проекции радиуса кривизны МК в точке М на оси координат можно, выразить двумя способами: через координаты конца и начала, а также как произведения длины R радиуса кривизны на его направляющие косинус и синус.
Рис. 49
Рис. 50 Вывести отсюда выражения для координат
67. Выражая в этих уравнениях правые части через 68. Найти параметрические уравнения эволюты циклоиды и показать, что, вводя вместо t новый параметр
и затем перенося начало координат в новую точку
мы приведем уравнение эволюты к виду
(т. е. эволюта циклоиды — тоже циклоида).
|
1 |
Оглавление
|