РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ
Решения к главе 1
1. Остаток от деления
на d, имея вид
и будучи меньше
непременно равен нулю. Поэтому
- делитель всех чисел вида
и, в частности, общий делитель чисел
. С другой стороны, выражение для d показывает, что всякий общий делитель чисел а и b делит d. Поэтому
и верна теорема 1, d, § 2. Теоремы
, § 2 выводятся так: наименьшее положительное число вида
есть
наименьшее положительное число вида есть
Обобщение этих результатов тривиально.
2. При
утверждение очевидно. Пусть
и утверждение справедливо для всех простых чисел, меньших
. Докажем его для
. Если а не делится на
, b не делится на
, то по с. § 1
. Следовательно, по 2, § 1
делится на
, т. е.
Каждый простой делитель чисел
меньше
, поэтому по индукционному предположению он делит
. Производя сокращения, приходим к равенству
которое противоречиво, а это и доказывает наше утверждение.
3. а. Действительно, всегда будем иметь
откуда найдем
b. При
теорема очевидна; поэтому предполагаем
Имеем
Число чисел а ряда
каноническое разложение которых имеет вид
ввиду
не больше чем
Поэтому в ряде
найдутся числа, в каноническое разложение которых входят простые, отличные от
.
7. Например, такие последовательности получим при
8. Взяв целое
с условием, что при
положим
Составными (кратными
будут все числа
9. а. При наличии (1) одно из чисел
, пусть именно
будет четным; из
где, очевидно, убеждаемся в существовании положительных целых
и с условиями
Отсюда следует необходимость условий, указанных в вопросе. Достаточность этих условий очевидна.
b. Условимся здесь обозначать буквами лишь целые положительные числа. Допустив существование систем
условиями
выберем из них систему с наименьшим
. Предполагая
четным, найдем
где а — четное (при четном и было бы
что невозможно). Отсюда
что ввиду
невозможно.
Из неразрешимости уравнения
как частный случай, очевидно, следует и неразрешимость уравнения
в целых положительных
10. Полагая
находим
Поэтому кратно
и, следовательно,
11, а. Пусть k — наибольшее целое с условием
,
— произведение всех нечетных чисел, не превосходящих
. Число
представится суммою, все слагаемые которой, кроме
суть целые числа.
b. Пусть k — наибольшее целое с условием
— произведение всех взаимно простых с 6 чисел, не превосходящих
Число
представится суммою, все слагаемые которой, кроме
суть целые числа.
12. При
теорема проверяется непосредственно. Поэтому достаточно, считая при
теорему верной для биномов
доказать справедливость теоремы и для бинома
Но коэффициенты разложения этого бинома за исключением крайних, равных 1, суть числа
Для нечетности же всех этих чисел необходимо и достаточно, чтобы нечетными были крайние из них, как раз равные
и чтобы также нечетными были числа, получаемое вычеркиванием нечетных сомножителей из числителей и знаменателей оставшихся чисел. Но, полагая
эти числа можно представить членами ряда
Последние же ввиду
будут все нечетными тогда и только тогда, когда
имеет вид
, т. е. когда
имеет вид