§ 4. Простейшие зависимости, содержащие величину вектора, проекции и направляющие косинусы
a. Косинусы
углов, образуемых осью вектора с осями
называются направляющими косинусами, так как характеризуют направление вектора.
b. Согласно теореме о величине проекции вектора проекции
вектора получатся умножением его величины
на указанные направляющие косинусы:
c. В частности возьмем направление оси совпадающим с направлением самого вектора; тогда
обратится в длину
вектора и
в направляющие косинусы самого вектора, и найденные формулы примут вид:
d. Из этих формул можно выразить направляющие косинусы вектора через его проекции:
e. Геометрически ясно далее, что сами направляющие косинусы не могут быть независимыми, потому что когда известны два угла
, для ОР возможно только самое большее два направления (например на рис. 94, кроме изображенного на нем, еще - симметричное направление
ниже плоскости
),
Мы выведем сейчас уравнение связывающее эти направляющие косинусы. Действительно возводя (2) в квадрат и складывая, имеем
откуда, деля обе части на
получим
f. Например найдем проекции x, у, z вектора длины
образующего с осями равные острые углы.
Здесь
и потому равенство
обращается в
Берем знак плюс, потому что угол а по предположению острый. Итак,
в следовательно, согласно формуле (2) ввиду
получим
Найдем еще направляющие косинусы вектора, заданного проекциями
Указанные косинусы можно было бы вычислять непосредственно по формулам (3) в окончательном виде, Однако удобнее раньше вычислить
. Имеем
и следовательно, согласно формулам (3)