§ 3. Дальнейшие свойства сравнений
a. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое.
Действительно, из
следует
и, следовательно,
b. Обе части сравнения и модуль можно разделить на любой их общий делитель.
Действительно, пусть
Имеем
и, следовательно,
с. Если сравнение
имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю, равному общему наименьшему кратному этих модулей.
В самом деле, из
следует, что разность
делится на все модули
тк. Поэтому (в,е, § 5, гл. I) она должна делиться и на общее наименьшее кратное
этих модулей, т. е.
.
d. Если сравнение имеет место по модулю
, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю
В самом деле, из
следует,
разность
должна делиться на
поэтому (1, b, § 1, гл. I) она должна делиться и на любой делитель d числа
, т. е.
.
e. Если одна часть сравнения и модуль делятся на какое-либо число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.
Действительно, из
следует
если,
кратны d, то (2, b, § 1, гл. I) и b должно быть кратным d, что и утверждалось.
f. Если
, то
. Действительно, ввиду 2, b, § 2, гл. I это равенство непосредственно следует из