12-5. Несинусоидальные кривые с периодической огибающей

Кроме несинусоидальных периодических функций, разлагаемых в тригонометрический ряд на гармонические составляющие с частотами, кратными основной частоте, в электротехнике встречаются несинусоидальные кривые с периодическими или почти периодическими огибающими (см. § 12-1), также разлагаемые на гармонические составляющие.

Период напряжений или токов, описываемых такими кривыми, обычно во много раз превышает период любой из составляющих и может стремиться к бесконечности К числу явлений, характеризуемых такими кривыми, относятся биения и модуляция.

Биения. Простейший случай биений получается в результате сложения двух синусоид с равными амплитудами и близкими, но не равными частотами причем

    (12-24)

Преобразуя сумму синусов, получаем:

Будем считать, что кривая представляет собой синусоиду угловой частотой амплитуда которой изменяется по

косинусоиде со значительно меньшей угловой частотой

    (12-25)

Частотой биений называется частота равная числу максимумов огибающей кривой в единицу времени (рис. 12-9).

Период биений в общем случае не равен периоду кривой . Действительно,

    (12-26)

Очевидно, что только при (целое нечетное число) период биений совпадает с периодом кривой Во всех остальных случаях кривая на участках двух соседних периодов биений не повторяется и период кривой превышает период биений. При несоизмеримости угловых частот и Q отношение этих величин является иррациональным числом, т. е. не существует такой частоты, на которую без остатка делятся частоты со и Q. Следовательно, период функции равен бесконечности и кривая не периодическая, хотя она и разлагается на две синусоиды.

Рис. 12-9.

Модулированные колебания. Синусоидально (гармонически) изменяющаяся величина задается тремя параметрами: амплитудой угловой частотой со и фазой . Все эти величины постоянны и не зависят от времени.

Однако для передачи различного рода сигналов применяются генераторы, в которых одна из этих величин сравнительно медленно изменяется по некоторому заданному закону. Изменение во времени одного из параметров или называют модуляцией. Изменение амплитуды называется амплитудной модуляцией, изменение частоты со — частотной модуляцией, изменение фазы — фазовой модуляцией (последние два вида модуляции в книге не рассмотрены).

Рассмотрим простейший пример функции, изменяющейся с частотой и с амплитудой, модулированной по косинусоиде (рис. 12-10, а):

    (12-27)

Частота называется несущей частотой, частота Q — модулирующей частот ой, коэффициентом модуляции. Коэффициент модуляции характеризует

степень отличия максимальной и минимальной амплитуд от некоторого среднего значения . Обычно меньше единицы.

Амплитудная модуляция широко применяется в радиовещании и радиосвязи, где несущая частота — это частота радиосвязи, а модулирующей Q служат звуковые частоты передаваемой речи или музыки.

При определении токов или напряжений в цепях, схемы которых содержат источники э. д. с., модулированных по амплитуде, последние могут быть разложены на синусоидальные составляющие. Действительно, преобразуя выражение (12-27), получаем:

Начальная фаза каждой из трех гармонических составляющих

Таким образом, простейшие модулированные по амплитуде колебания могут быть представлены в виде суммы трех синусоидальных колебаний с постоянными амплитудами и с частотами Частоты называют боковыми частотами.

Рис. 12-10.

Дискретный спектр амплитуд модулированной по амплитуде функции представлен на рис. 12-10, б.

При иррациональности отношения несущей и модулирующей частот они несоизмеримы, а следовательно, кривая не периодическая. Тем не менее эта кривая совершенно точно может быть представлена в виде суммы трех синусоидальных составляющих различных частот.

Представляет интерес сопоставить спектр модулированных колебаний со спектром огибающей колебаний (рис. 12-11, а):

Спектр огибающей содержит постоянную составляющую и первую гармонику с амплитудой

Учитывая, что запишем огибающую (по аналогии с примером 12-2) в следующем виде:

и представим спектр в виде трех спектральных линий: на нулевой частоте (постоянная составляющая) и на частотах и , расположенных симметрично относительно постоянной составляющей (рис. 12-11,б). Сопоставляя спектр модулированных колебании (рис. 12-10, б) и симметричный спектр огибающей легко заметить что они отличаются только сдвигом по оси частот на интервал, равный несущей частоте

Это соотношение между частотными спектрами огибающей и модулированных колебаний имеет большое значение, когда рассматривают различные случаи амплитудной модуляции.

Рис. 12-11.

Модулированные импульсы. Передача сигналов может производиться как при помощи изменения параметров синусоиды, так и путем изменения параметров последовательности импульсов (см. пример 12-3).

Изменение во времени амплитуды импульсов носит название амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), изменение продолжительности импульсов — широтно-импульсной модуляции (ШИМ), изменение частоты импульсов частотно-импульсной модуляции (ЧИМ), а изменение фазы импульсов — фазоимпульсной модуляции (ФИМ).

Рассмотрим простейший пример амплитудно-импульсной модуляции при (пример 12-4), если амплитуда импульсов изменяется во времени (рис. 12-12а) по закону

    (12-29)

Согласно выражению (12-12а) спектр модулированных импульсов приближенно описывается уравнением

    (12-30)

Преобразуя произведение косинусов

получаем:

    (12-31)

Таким образом, спектр модулированных импульсов (рис. 12-12, б) представляет собой периодическую функцию, повторяющую с периодом

симметричный спектр модулирующей огибающей (рис. 12-11, б). Чтобы спектр модулированных колебаний на каждом интервалов частот без искажений воспроизводил спектр модулирующей огибающей, необходимо выполнить условие

Рис. 12-12.

Это очень важное в практике радиотехники, телемеханики и автоматики неравенство было получено акад. В. А. Котельниковым.