Нижний предел интеграла, равный
берется в том случае, к моменту переключения рубильника
режим в цепи установился, т. е. к источнику э. д. с.
цепь была включена в момент времени
(только
этих условиях режим к моменту переключения рубильника теоретически мог установиться).
Если к моменту переключения режим не установился, то в качестве нижнего предела нужно брать —k, где k — время, прошедшее с момента включения источника
до момента
Рис. 14-1.
Постановка у интеграла нижнего предела, равного —
или
имеет целью подчеркнуть, что в момент коммутации конденсатор уже был заряжен, т. е.
(14-16)
где
— напряжение на емкости в момент переключения, т. е. при
Чтобы перейти от закона Ома, записанного для мгновенных значений (оригиналов), к его выражению в операторной форме, нужно в соответствии с формулой (14-1) поступить так: умножить обе части равенства (14-15) на
и проинтегрировать от нуля до
Тогда получим:
Полагая, что
и учитывая формулы (14-4), (14-7) и (14-16), получаем следующее алгебраическое уравнение:
откуда получается закон Ома в операторной форме для цепи
Последнее равенство справедливо и в том случае, когда процесс переключения рубильника еще не был установившимся. В обоих случаях под
надо понимать ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент переключения рубильника. Заметим,
что
соответствии со сказанным выше нужно было бы писать
Но так как ток в индуктивности и напряжение на емкости не изменяются скачком при
будем писать короче
Выражение, стоящее в знаменателе, назовем полным сопротивлением цепи
в операторной форме или операторным сопротивлением
(14-18)
Сопротивление в операторной форме уже встречалось в § 13-14 и теперь получено вполне строго. Напомним, что сопротивление цепи
в операторной форме построено так же, как ее комплексное сопротивление, если в последнем заменить
через
. Величина, обратная операторному сопротивлению, называется операторной проводимостью:
Операторная э. д. с. цепи, стоящая в числителе (14-17), состоит не только из операторного выражения внешней
но и еще из двух слагаемых, которые определяются начальными условиями, т. е. током в индуктивности i
и напряжением на емкости
. Иными словами, наличие двух дополнительных
которые можно назвать внутренними или расчетными э. д. с., указывает на то, что в магнитом поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Положительные направления этих э. д. с. выбраны совпадающими с положительным направлением тока ветви.
Заметим, что, как и ранее, положительные направления тока и напряжения на конденсаторе считаются совпадающими. Если же до коммутации конденсатор был заряжен и, стало быть, положительное направление напряжения на нем до коммутации
было задано, а положительное направление тока через конденсатор выбрано противоположным положительному направлению
внутренняя или расчетная э. д. с., обусловленная емкостью, должна быть взята с обратным знаком, т. е.
Особенно просто выглядит выражение (14-17) при нулевых на чальных условиях, т. е. при
(14-19)
Тогда оно полностью аналогично закону Ома в комплексной форме.
Для любого узла разветвленной цепи
поэтому, обозначив изображения токов
на основании (14-1) получим первый закон Кирхгофа в операторной
форме,
(14-20)
для любого замкнутого контура, состоящего из
ветвей,
Полагая
и повторяя все рассуждения, которые были сделаны при записи закона Ома в операторной форме, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме:
что можно переписать так:
(14-21)
В последних выражениях
— начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях.
Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при
(14-22)
В такой записи он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.
Итак, закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны по форме своей записи тем же законам в комплексной форме для цепи гармонического тока. Нужно только иметь в виду, во-первых, что в каждой
ветви при ненулевых начальных условиях, т. е. при
, действует не только внешняя
, но еще и внутренняя или расчетная
положительное направление кото рой выбрано совпадающим с положительным направлением тока в этой ветви и, во-вторых, что в качестве сопротивления ветви берется ее операторное сопротивление.
Найдем, например, ток при переключении ветви
(рис. 14-1) от источник синусоидальной
к источнику постоянной
с
На основании закона Ома в операторной форме имеем
где
надо найти, рассчитав цепь в установившемся режиме до коммута
Оригинал для
, т. е. ток i, определим при помощи теоремы разложения Сначала вычислим корни
уравнения
которые примем для определенности вещественными и различ ными
Затем найдем
Подставим эти результаты в формулу (14-10)
или после простых преобразований
Рис. 14.2
Как и следовало ожидать, принужденной составляющей в составе тока
свободныи ток состоит из двух экспонент с коэффициентами затухания
Для цепи с нулевыми начальными условиями во всех ветвях (рис. 14-2) изо бражение тока, например, во второй ветви найдем из очевидного соотношения
Здесь
— взаимная операторная проводимость ветвей 2 и 1 Изображение гармоническои
(см. приложение 2)
— довольно сложное. Зная, что эта э. д. с. представляет собой мнимую часть комплекса
можно оперировать с мгновенной комплексной э. д. с.
изображение которой
хотя и является комплексной функцией
, все будет значительно более простым
Для пояснения расчетов с такими изображениями рассмотрим сначала неразветвленную цепь с нулевыми начальными условиями, в которой после коммутации дейстствует один источник
По закону Ома в операторной форме комплексное изображение тока
(14-24)
комплексный оригинал переходного тока
и переходный ток
(14-246)
Если в этой цепи после коммутации кроме источника с гармонической э. д. с. действует, например, еще источник с постоянной Е и апериодическои
начальные условия были ненулевые, что учитывается введением расчетных
то все э. д. с., кроме
, должны быть введены в числитель формулы (14 24) с множителе
, т. е.
где
Только в этом случае они будут учтены при определении переходного тока как мнимой части комплексного оригинала
Необходимость умножения изображении всех внешних э. д. с. (кроме синусоидальных) и внутренних дополнительных
д с ветвей на
распространяется также и на уравнения второго закона Кирхгофа для разветвленных цепей, если синусоидальные внешние э. д. с. заменяются их мгновенными комплексными значениями
В случае включения цепи по рис 14-2 к источнику тока
при усповии i
необходимо, чтобы ветвь
и хотя бы одна из ветвей
или
не имели индуктивностей. В ветви
сразу будет принужденный режим с током
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного ветвями
, и уравнение по первому закону Кирхгофа на точки разветвления Переписав их для изображений и учитывая, что
, решим два уравнения с двумя неизвестными
, т. е. наймем их изображения. Токи
определим по теореме разложения или при помощи таблицы соответствий
Достаточно найти один из токов
или
и соответственно
или
так как другой ток сразу определяется по первому закону Кирхгофа.