Нижний предел интеграла, равный 
берется в том случае, к моменту переключения рубильника 
режим в цепи установился, т. е. к источнику э. д. с. 
цепь была включена в момент времени 
(только 
этих условиях режим к моменту переключения рубильника теоретически мог установиться).
Если к моменту переключения режим не установился, то в качестве нижнего предела нужно брать —k, где k — время, прошедшее с момента включения источника 
до момента 
Рис. 14-1.
Постановка у интеграла нижнего предела, равного — 
или 
имеет целью подчеркнуть, что в момент коммутации конденсатор уже был заряжен, т. е. 
(14-16)
где 
— напряжение на емкости в момент переключения, т. е. при 
Чтобы перейти от закона Ома, записанного для мгновенных значений (оригиналов), к его выражению в операторной форме, нужно в соответствии с формулой (14-1) поступить так: умножить обе части равенства (14-15) на 
и проинтегрировать от нуля до 
Тогда получим:
Полагая, что
и учитывая формулы (14-4), (14-7) и (14-16), получаем следующее алгебраическое уравнение:
откуда получается закон Ома в операторной форме для цепи 
Последнее равенство справедливо и в том случае, когда процесс переключения рубильника еще не был установившимся. В обоих случаях под 
надо понимать ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент переключения рубильника. Заметим,
что 
соответствии со сказанным выше нужно было бы писать 
Но так как ток в индуктивности и напряжение на емкости не изменяются скачком при 
будем писать короче 
Выражение, стоящее в знаменателе, назовем полным сопротивлением цепи 
в операторной форме или операторным сопротивлением
(14-18)
Сопротивление в операторной форме уже встречалось в § 13-14 и теперь получено вполне строго. Напомним, что сопротивление цепи 
в операторной форме построено так же, как ее комплексное сопротивление, если в последнем заменить 
через 
. Величина, обратная операторному сопротивлению, называется операторной проводимостью:
Операторная э. д. с. цепи, стоящая в числителе (14-17), состоит не только из операторного выражения внешней 
но и еще из двух слагаемых, которые определяются начальными условиями, т. е. током в индуктивности i 
и напряжением на емкости 
. Иными словами, наличие двух дополнительных 
которые можно назвать внутренними или расчетными э. д. с., указывает на то, что в магнитом поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Положительные направления этих э. д. с. выбраны совпадающими с положительным направлением тока ветви.
Заметим, что, как и ранее, положительные направления тока и напряжения на конденсаторе считаются совпадающими. Если же до коммутации конденсатор был заряжен и, стало быть, положительное направление напряжения на нем до коммутации 
было задано, а положительное направление тока через конденсатор выбрано противоположным положительному направлению 
внутренняя или расчетная э. д. с., обусловленная емкостью, должна быть взята с обратным знаком, т. е. 
Особенно просто выглядит выражение (14-17) при нулевых на чальных условиях, т. е. при 
(14-19)
Тогда оно полностью аналогично закону Ома в комплексной форме.
Для любого узла разветвленной цепи
поэтому, обозначив изображения токов 
на основании (14-1) получим первый закон Кирхгофа в операторной
форме,
(14-20)
для любого замкнутого контура, состоящего из 
ветвей,
Полагая
и повторяя все рассуждения, которые были сделаны при записи закона Ома в операторной форме, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме:
что можно переписать так:
(14-21)
В последних выражениях 
— начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях.
Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при 
(14-22)
В такой записи он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.
Итак, закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны по форме своей записи тем же законам в комплексной форме для цепи гармонического тока. Нужно только иметь в виду, во-первых, что в каждой 
ветви при ненулевых начальных условиях, т. е. при 
, действует не только внешняя 
, но еще и внутренняя или расчетная 
положительное направление кото рой выбрано совпадающим с положительным направлением тока в этой ветви и, во-вторых, что в качестве сопротивления ветви берется ее операторное сопротивление.
Найдем, например, ток при переключении ветви 
(рис. 14-1) от источник синусоидальной 
к источнику постоянной 
с
На основании закона Ома в операторной форме имеем
где 
надо найти, рассчитав цепь в установившемся режиме до коммута 
Оригинал для 
, т. е. ток i, определим при помощи теоремы разложения Сначала вычислим корни 
уравнения 
которые примем для определенности вещественными и различ ными
Затем найдем
Подставим эти результаты в формулу (14-10)
или после простых преобразований
Рис. 14.2
Как и следовало ожидать, принужденной составляющей в составе тока 
свободныи ток состоит из двух экспонент с коэффициентами затухания 
Для цепи с нулевыми начальными условиями во всех ветвях (рис. 14-2) изо бражение тока, например, во второй ветви найдем из очевидного соотношения
Здесь 
— взаимная операторная проводимость ветвей 2 и 1 Изображение гармоническои 
(см. приложение 2)
— довольно сложное. Зная, что эта э. д. с. представляет собой мнимую часть комплекса 
можно оперировать с мгновенной комплексной э. д. с.
изображение которой 
хотя и является комплексной функцией 
, все будет значительно более простым
Для пояснения расчетов с такими изображениями рассмотрим сначала неразветвленную цепь с нулевыми начальными условиями, в которой после коммутации дейстствует один источник 
По закону Ома в операторной форме комплексное изображение тока
(14-24)
комплексный оригинал переходного тока
и переходный ток
(14-246)
Если в этой цепи после коммутации кроме источника с гармонической э. д. с. действует, например, еще источник с постоянной Е и апериодическои 
начальные условия были ненулевые, что учитывается введением расчетных 
то все э. д. с., кроме 
, должны быть введены в числитель формулы (14 24) с множителе 
, т. е.
где
Только в этом случае они будут учтены при определении переходного тока как мнимой части комплексного оригинала 
Необходимость умножения изображении всех внешних э. д. с. (кроме синусоидальных) и внутренних дополнительных 
д с ветвей на 
распространяется также и на уравнения второго закона Кирхгофа для разветвленных цепей, если синусоидальные внешние э. д. с. заменяются их мгновенными комплексными значениями 
В случае включения цепи по рис 14-2 к источнику тока 
при усповии i 
необходимо, чтобы ветвь 
и хотя бы одна из ветвей 
или 
не имели индуктивностей. В ветви 
сразу будет принужденный режим с током 
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного ветвями 
, и уравнение по первому закону Кирхгофа на точки разветвления Переписав их для изображений и учитывая, что 
, решим два уравнения с двумя неизвестными 
, т. е. наймем их изображения. Токи 
определим по теореме разложения или при помощи таблицы соответствий
Достаточно найти один из токов 
или 
и соответственно 
или 
так как другой ток сразу определяется по первому закону Кирхгофа.
(рис. 14-1), которая была подключена к источнику 
и в момент 
переключается к источнику 
