Квантовое стохастическое исчисление имеет дело с однопараметрическими семействами операторов, согласованными с некоторой фильтрацией, в пространстве Фока и более общих гильбертовых пространствах. Далее пойдет речь о бозонном квантовом стохастическом исчислении, которое было введено Хадсоном и Партасарати [1], [19], и связано с симметричным пространством Фока (примерно в это же время появился «стохастический интеграл Клиффорда-Ито», связанный с антисимметричным пространством Фока [12]). В основе этого исчисления лежит математическое понятие квантового броуновского движения, изученное в [18]. Соответствующий квантовый белый шум и куравнение Ланжевена» обсуждались физиками еще в 60 -е годы, однако ключевая для нового стохастического исчисления формула Ито была найдена лишь в работах [1], [19]. Интересно, что впоследствии эта формула была переоткрыта в физической работе [15], где был также построен квантовый аналог исчисления Стратоновича.

Большую роль в распространении квантового стохастического исчисления сыграла конференция по квантовой теории вероятностей и ее приложениям в теории необратимых квантовых процессов, состоявшаяся близ Рима в сентябре 1982 г. [28], [1]. Было понято, что квантовое стохастическое исчисление дает аналитический инструмент для изучения структуры квантовых марковских процессов. Последовал ряд работ, посвященных стохастическим расширениям квантовых динамических полугрупп, т. е. представлениям решеннй квантового марковского управляющего уравнения через математические ожидания процессов, порождаемых квантовым броуновским движением (см, например, сборник [29]). Однако квантовое стохастическое исчисление может представлять интерес и с точки зрения «классической», т. е. обычной теории случайных процессов. Оно перебрасывает мост между исчислением Ито и вторичным квантованием, открывает иеожиданные связи между непрерывными и скачкообразными случайными процессами, позволяет по-новому взглянуть на понятие стохастического интеграла. Попытка осмыслить этот круг вопросов с позиций специалиста по случайным процессам была предпринята в курсе лекций Мейера «Элементы квантовой ‘вероятности» [25].

Настоящий обзор имеет целью ввести читателя в круг основных понятий и идей квантового стохастического исчисления, используя минимальные сведения из квантовой теории вероятностей. Это достигается ценой ряда упрощений идейного и технического плана. Так, мы опускаем детальное обсуждение содержания понятий случайной величины (наблюдаемой) и закона распределения (состояния) в квантовой теории вероятностей (см. [9]), ограничиваясь формальным определением квантового случайного процесса, уделяем основное внимание алгебраической стороне дела, почти не касаясь аналитических вопросов таких, как области определения неограниченных операторов и т. п. (особенно в $\$ \$ 5,6$ ). Предварительное знакомство с квантовой механикой не требуется, однако предполагается, что читатель знаком с основами теории oneраторов в гильбертовом пространстве.