По любому гильбертову пространству $\mathscr{C}$ можно построить ассоциированное пространство Фока $\mathfrak{G}=\Gamma(\mathscr{H})$,
\[
\Gamma(\mathscr{H})=\sum_{n=0}^{\infty} \oplus \Gamma_{n}(\mathscr{E}),
\]

где $\Gamma_{n}(\mathscr{C})=(\mathscr{H} \otimes \ldots \otimes \mathscr{H})_{\text {вут }}-$ симметризованная $n$-ая тензорная степень пространства $\mathscr{C}$ [17], [5]. В дальнейшем нас будет интересовать в основном случай, когда $\mathscr{H}=L^{2}\left(R_{+}\right)$пространство комплексных функций на $\mathbf{R}_{+}$, квадратично интегрируемых по мере Лебега. В этом случае можно дать прямое описание пространства Фока, не требующее знакомства с понятием тензорного произведения. Именно, пространство $\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$состоит из бесконечных последовательностей
\[
\psi=\left[f_{0}, f_{1}(t), \ldots, f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right), \ldots\right],
\]

где $f_{0} \in \mathbf{C}, f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$ – произвольная симметричная функция от $t_{1}, \ldots, t_{n}$ такая, что
\[
\int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty}\left|f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}<\infty,
\]

причем
\[
\|\psi\|^{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n 1} \int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty}\left|f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}<\infty,
\]
6

$\psi=\left[f_{n}\right]$ и $\varphi=\left[g_{n}\right]$ задается формулой ${ }^{11}$
\[
(\Psi \mid \varphi)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty} \overline{f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)} g_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) d t_{1} \ldots d t_{n}
\]

В физике пространство Фока описывает системы, состоящие из переменного числа квантовых частиц. Пространство $\mathscr{H}$ называется одночастичным пространством. Тот факт, что $\mathscr{C}=$ $=L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)$, означает, что рассматриваются кчастицы», существующие на временной полуоси и не имеющие никаких других, скажем, пространственных, степеней свободы. Пространство $\Gamma_{n}(\mathscr{H})$, называемое $n$-частичным пространством, описывает системы из $n$ одинаковых частиц «типа $\mathscr{H}$ ». Симметричность функции $f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$ отражает неразличимость частиц. Неразличимые частицы, описываемые симметричными функциями $f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$, называются 603 онам и, а пространство $\Gamma(\mathscr{H})$ называется еще бозонным пространством Фока. Существует другой вид неразличимости, при котором системы из $n$ частиц описываются антисимметричными функциями. Такие частицы называются фермионами, а соответствующее им пространство Фока – фермионным. Вектор
\[
\boldsymbol{\psi}(0)=[1,0, \ldots, 0, \ldots]
\]

в пространстве Фока называется вакуумным вектором.
пространстве Фока называется вако $t \geqslant 0$ рассмотрим операторы $A_{t}, A_{t}^{+}, \Lambda_{t}$, действующие на вектор $\phi=\left[f_{n}\right]$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
{\left[A_{t} \psi\right]_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=\int_{0}^{t} f_{n+1}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}, t_{n+1}\right) d t_{n+1},} \\
{\left[A_{t}^{+} \Psi\right]_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=\sum_{j=1}^{n} 1_{[0, t]}\left(t_{j}\right) f_{n-1}\left(t_{1}, \ldots, t_{j}, \ldots, t_{n}\right),} \\
{\left[\Lambda_{t} \psi\right]_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=\left[\sum_{j=1}^{n} 1_{[0, t]}\left(t_{j}\right)\right] f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right),}
\end{array}
\]

где $1_{[0, t]}(s)$ – характеристическая функция отрезка $[0, t]$, а запись $f_{n-1}\left(t_{1}, \ldots, \hat{t}_{j}, \ldots, t_{n}\right)$ означает, что переменная $t_{j}$ опускается из числа аргументов функции $f_{n-1}$. Оператор $A_{t}$ переводит $\Gamma_{n} \equiv \Gamma_{n}\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right.$в $\Gamma_{n-1}, A_{t}{ }^{+}$переводит $\Gamma_{n}$ в $\Gamma_{n+1}$, а $\Lambda_{t}$ переводит $\Gamma_{n}$ в $\Gamma_{n}$. В физике оператор $A_{t}$ описывает уничтожение, $\boldsymbol{A}_{t}{ }^{+}$- рождение бозона, а $\Lambda_{t}$ – число бозонов (до момента $t$ ). Семейство операторов $\left\{A_{t} ; t \in \mathrm{R}_{+}\right\}$в пространстве Фока 5 с ва-
1) В физической литературе принято иное определение скалярного произведения в пространстве Фока, в котором отсутствует множнтель $1 / n$ ! Это приводнт к появлению соответствующих множителей в последующих формулах для операторов рождения-уничтожения.
куумным вектором $\psi(0)$ называется процессом уничтожения, $\left\{A_{t}{ }^{+}\right\}$- процессом рождения, $\left\{\Lambda_{t}\right\}$ – процессом сохранения. Операторы $A_{t}, A_{t}{ }^{+}, \Lambda_{t}$ неограничены (например, ‘из (2.4) видно, что $\left\|\Lambda_{t} \mid \Gamma_{n}\right\|=n$, где $A \uparrow \mathscr{M}$ означает ограничение оператора $A$ на подпространство $\mathscr{M}$ ) и поэтому не могут быть определены на всем $\Gamma(\mathscr{C})$. Они определены, например, на конечночас тичном подпространстве, состоящем из всех векторов $\psi=\left[f_{n}\right]$ таких, что $f_{n} \equiv 0$ для достаточно больших $n$. Из (2.2)-(2.4) видно, что конечночастичное подпространство является инвариантной областью определения для $A_{t}, A_{t}{ }^{+}, \Lambda_{t}$. Более широкой инвариантной областью определения является подпространство $\Gamma_{\infty}$, состоящее из векторов $\psi=\left[f_{n}\right]$ таких, что
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c^{n}}{n !} \int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty}\left|f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}<\infty
\]

для всех $c>0$. В дальнейшем будем считать, что $A_{t}, A_{t}{ }^{+}, \Lambda_{t}$ определены формулами (2.2)-(2.4) на $\Gamma_{\infty}$.

Непосредственно из определений вытекают следующие утверждения: операторы $A_{t}$ и $A_{t}+$ являются формально взаимно сопряженными, а оператор $\Lambda_{t}$ формально самосопряжен, т. е.
\[
\left(\psi \mid A_{t} \varphi\right)=\left(A_{t}{ }^{+} \psi \mid \varphi\right),\left(\psi \mid \Lambda_{t} \varphi\right)=\left(\Lambda_{t} \psi \mid \varphi\right) ; \varphi, \psi \in \Gamma_{\infty} .
\]

Нетрудно показатъ, что $A_{t}, A_{t}^{+}$однозначно расширяются до замкнутых взаимно сопряженных операторов, а $\Lambda_{t}$ – до самосопряженного оператора (см., например, [5]).

Поскольку $\Gamma_{\infty}$ – инвариантная область определения, на ней осмыслены коммутаторы операторов $A_{t}, A_{t}^{+}, \Lambda_{t}$. Из определений $(2.2)$ – (2.4) вытекают следующие соотношения коммутации на $\Gamma_{\infty}$ :
\[
\begin{array}{c}
{\left[A_{t}, A_{s}\right]=\left[A_{t}{ }^{+}, A_{s}{ }^{+}\right]=0,\left[A_{t}, A_{\mathrm{s}}{ }^{+}\right]=(t \wedge s) I,} \\
{\left[\Lambda_{t}, \Lambda_{\mathrm{s}}\right]=0,}
\end{array}
\]
\[
\left[\Lambda_{t}, A_{0}\right]=-\dot{A}_{t \Lambda_{0}}, \quad\left[\Lambda_{t}, A_{t}^{+}\right]=A^{+}{ }_{t} \wedge_{0,}
\]

где $t \wedge s$ – минимальное из чисел $t, s$, а $I$ – единичный оператор в $\mathfrak{5}$.

Вместо $A_{t}, A_{t}^{+}$можно рассматривать пару формально самосопряженных операторов на $\Gamma_{\infty}$ :
\[
Q_{t}=A_{t}+A_{t}{ }^{+}, \quad P_{t}=i\left(A_{t}+-A_{t}\right) .
\]

Операторы $Q_{t}, P_{t}$ однозначно расширяются до самосопряженных операторов (см. § 3). Из (2.6), (2.8) вытекают соотношения коммутации на $\Gamma_{\infty}$ :
\[
\begin{array}{c}
{\left[Q_{t}, Q_{\mathrm{J}}\right]=0,\left[P_{t}, P_{\mathrm{d}}\right]=0,} \\
{\left[Q_{t}, P_{\mathrm{J}}\right]=2 i(t \wedge s) \mathrm{I},}
\end{array}
\]
$\left[\Lambda_{t}, Q_{s}\right]=-i P_{t \wedge s},\left[\Lambda_{t}, P_{s}\right]=i Q_{t \wedge \varepsilon}$

Соотношения (2.10), (2.7) делают правдоподобным доказываемое далее утверждение, что $\left\{Q_{t}\right\},\left\{P_{t}\right\},\left\{\Lambda_{t}\right\}$ представляют собой диагонализуемые семейства самосопряженных операторов. Таким образом, каждое из этих семейств в пространстве Фока с выделенным вакуумным вектором эквивалентно некоторому классическому случайному процессу. Соотношения (2.11), (2.12) означают, однако, что эти классические процессы находятся в «неклассических» отношениях.

Прежде, чем заняться выяснением структуры процессов $Q_{t}$, $P_{t}, \Lambda_{t}$, введем еще одну систему векторов в пространстве Фока, в которой удобно производить вычисления, связанные с тройкой процессов $A_{t}, A_{t}{ }^{+}, \Lambda_{t}$. Для любото $f \in
ot \mathscr{E}=L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)$определим экспоненциальный вектор $\psi(f) \in \Gamma_{\infty}$ соотношением
\[
\boldsymbol{\psi}(f)=\left[1, f(t), \ldots, f\left(t_{1}\right) \cdot \ldots: f\left(t_{n}\right), \ldots\right] .
\]

Отметим, что вакуумный вектор соответствует $f=0$. Из (2.1) следует, что
\[
(\psi(f) \mid \psi(g))=\exp \int_{0}^{\infty} \overline{f(t)} g(t) d t .
\]

Непосредственно из (2.2)-(2.4) вытекает, что
\[
\begin{array}{c}
\left(\psi(f) \mid A_{t} \psi(g)\right)=\int_{0}^{t} g(s) d s(\psi(f) \mid \psi(g)), \\
\left(\psi(f) \mid A_{t}^{+} \psi(g)\right)=\int_{0}^{t} \overline{f(s)} d s(\psi(f) \mid \psi(g)), \\
\left(\psi(f) \mid \Lambda_{t} \psi(g)\right)=\int_{0}^{t} \overline{f(s)} g(s) d s(\psi(f) \mid \psi(g)) .
\end{array}
\]

Линейную оболочку семейства экспоненциальных векторов с вещественными функциями $f$ обозначим $\Gamma_{0}\left(\Gamma_{\cdot} \subset \Gamma_{\infty}\right)$. Подпространство $\Gamma_{e}$ плотно в пространстве Фока $\Gamma(\mathscr{\mathscr { C }})[17]$.
Из (2.14) следует важное соотношение
\[
A_{t} \psi(g)=\int_{0} g(s) d s \cdot \psi(g)
\]

означающее, что экспоненциальные векторы являются собственными векторами операторов уничтожения. В частности,
\[
A_{\Delta} \psi(0)=0 \text {. }
\]

Полагая в (2.16) $g=0$, находим, что
\[
\Lambda_{t} \psi(0)=0 .
\]
2-1