В этом разделе мы коснемся наиболее важного приложения квантового стохастического исчисления – расширений квантовых динамических полугрупп [29], являющихся некоммутативным аналогом марковских полугрупп в теории вероятностей. Известно, что марковские полугруппы допускают вероятностное представление через решения стохастических дифференциальных уравнений. Такое представление осуществляет расширение полугруппы до группы временных сдвигов в пространстве функционалов от соответствующего марковского случайного процесса. Описываемая ннже конструкция распространяет эту идею на некоммутативную ситуацию. Получающееся расширение имеет естественную физическую интерпретацию.

Пусть $\mathscr{C}_{0}$ – гильбертово пространство, $\mathscr{E}\left(\mathscr{\mathscr { C }}_{0}\right)$ – алгебра всех ограниченных операторов в $\mathscr{\mathscr { C }}_{0} ; n \times n$-матрица $\left[X_{6}\right]$ с элементами $X_{\psi} \in \mathscr{P}\left(\mathscr{C}_{0}\right)$ называется положительно определенной, если $\sum_{i j}\left(\psi_{i} \mid X_{v} \psi_{j}\right) \geqslant 0$ для любого набора $\left\{\psi_{i}\right\} \subset \mathscr{G}$. Отображение $Ф$ из $\mathscr{\mathscr { H }}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$ в $\mathscr{P}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$ называется вполне положительным, если для всякой положительно определенной матрицы $\left[X_{0}\right]$ матрица [Ф( $\left.X_{v}\right)$ ] является положительно определенной; отображенне Ф
называется нормальньсм, если из $X_{\alpha} \uparrow X$ в $\mathfrak{P}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$ следует $\Phi\left(X_{\alpha}\right) \uparrow \Phi(X)^{\prime \prime}$. Квантовой димамической полугруппой называется семейство $\left\{\Phi_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\}$линейных нормальных вполне положительных отображений, удовлетворяющее условиям
(i) $\Phi_{t} \Phi_{s}=\Phi_{t+s} ; t, s \in \mathrm{R}_{+}$; (ii) $\Phi_{t}(\mathrm{I})=\mathrm{I}$;
(iii) $\lim _{t \rightarrow 0 \leq} \Phi_{t}(X)=X$ в ультраслабой топологии $\mathfrak{R}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$.

Квантовая динамическая полугруппа называется непрерывной по норме, если $\lim _{t \rightarrow 0} \sup _{\|\boldsymbol{x}\|}\left\|\Phi_{t}\left(X^{\prime}\right)-X\right\|=0$. Далее рассматриваются только такне полугруппы.

В соответствии с общей теорией полугрупп в банаховом пространстве $\Phi_{t}=\exp t \mathscr{L}$, где производящий оператор $\mathscr{L}$ – линейное ограниченное отображение $\mathfrak{g}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$ в $\mathfrak{Y}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$. Важный результат, полученный независимо Горини и др. [16] (в случае $\operatorname{dim} \mathscr{H}_{0}<\infty$ ) и Линдбладом [24] (в общем случае), дает общий вид производящего оператора непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы
\[
\mathscr{L}\left(X^{\prime}\right)=\sum_{j}\left[L_{j}^{*} X L_{j}-\frac{1}{2}\left(L_{j}^{*} L_{j} X+X L_{j}^{*} L_{f}\right)\right]+i[H, X],
\]

где $H$-самосопряженный оператор из $\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}_{0}\right), L_{j} \in \mathfrak{F}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$ и $\sum_{j} L_{j}^{*} L_{j} \in \mathfrak{B}\left(\mathscr{H}_{0}\right)$.

В дальнейшем мы для простоты ограничимся случаем одного слагаемого в (6.1):
\[
\mathscr{L}(X)=L^{*} X L-\frac{1}{2}\left(L^{*} L X+X L^{*} L\right)+i[H, X]
\]

С физической точки зрения квантовая динамическая полугруппа $\left\{\Phi_{t}\right\}$ описывает, вообще говоря, необратимую временную эволюцию квантовой системы. Пусть $X$ – произвольный оператор в гильбертовом пространстве системы $\mathscr{\mathscr { C }}_{0}$. Полагая
\[
X_{t}=\Phi_{t}(X)=\exp t \mathscr{L}(X),
\]

нмеем марковское управляющее уравнение (аналог уравнения Колмогорова для произвольной функции на фазовом пространстве классической системы)
\[
\frac{d X_{t}}{d t}=\mathscr{L}\left(X_{t}\right) ; t>0 .
\]

Случай обратимой эволюции соответствует $L_{j} \approx 0$, когда $\mathscr{L}(X)=$ $=i[H, X]$, и (6.4) переходит в уравнение Гейзенберга
\[
\frac{d X_{t}}{d t}=l\left[H, X_{t}\right]
\]
1) $X_{\alpha} \uparrow X$ означает, что $\left\{X_{\alpha}\right\}$ есть неубывающая сеть самосопряженных операторов из $\mathfrak{P}\left(\mathscr{\mathscr { C }}_{0}\right)$, слабо сходящаяся к $X \in \mathscr{P}\left(\mathscr{\mathscr { O }}_{0}\right)$. Обсуждение вероятностного смысла свойства полной положительности см. в [8], [24].

Решение уравнения (6.5) имеет вид
\[
X_{t}=V_{t}^{*} X V_{t},
\]

где $V_{t}=\exp (-i t H)$ – унитарный оператор обратимой эволюции в $\mathscr{H}_{0}$.

Опишем теперь конструкцию, которая позволит представить марковскую эволюцию (6.3) как результат взаимодействия данной квантовой системы, описываемой гильбертовым пространством $\mathscr{H}_{0}$, с «бозонным резервуаром», описываемым пространством Фока $\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$, и последующего кусреднения по вакуумному состоянию» в пространстве Фока. С математической точки зрения эта конструкция дает унитарное расширение квантовой динамической полугруппы $\left\{\Phi_{t}\right\}$.

Совокупность системы и резервуара описывается гильбертовым пространством $\mathfrak{y}=\mathscr{\mathscr { C }}_{0} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$. Взаимодействие между системо и резервуаром должно задаваться унитарным оператором эволюции $U_{t}$ в $\mathfrak{g}$. Мы предположим, что взаимодействие имеет «обновллющий» характер, так что семейство $\left\{U_{t}\right\}$ образует согласованный процесс, удовлетворяющий уравнению типа (5.8) (с коэффициентами $L_{j}$, не зависящими от $t$ ). Условие унитарности приводит тогда к уравнению (5.10), где в качестве $L, H$ мы возьмем операторы из представления (6.2). Если $X$ – произвольный оператор из $\mathfrak{Y}\left(\mathscr{\mathscr { C }}_{0}\right)$, то уравнение эволюции имеет вид
\[
\tilde{X}_{t}=U_{i}^{*}(X \otimes \mathrm{I}) U_{t},
\]

где $X \otimes \mathrm{I}=\tilde{X}_{0}$ обозначает «поднятие оператора $X$ в пространство $\hat{\xi}=\mathscr{\mathscr { C }}_{0} \otimes \Gamma\left(\mathscr{L}^{2}\left(\mathrm{R}_{+}\right)\right)$. Используя кван товую формулу Ито, получаем стохастическое дифференциальное уравнение (квантовое уравнение Ланжевена) для $\tilde{X}_{t}$ :
\[
\begin{array}{c}
d \tilde{X}_{t}=\left(\tilde{W}_{t}^{*} \tilde{X}_{t} \tilde{W}_{t}-\tilde{X}_{t}\right) d \Lambda_{t}+\left[\tilde{L}_{t}^{*}, \tilde{X}_{t}\right] \tilde{W}_{t} d A_{t}- \\
-\widetilde{W}_{t}^{*}\left[\tilde{L}_{t}, \tilde{X}_{t}\right] d A_{t}^{+}+\tilde{\mathscr{L}}(X)_{t} d t,
\end{array}
\]

где $\tilde{W}, \tilde{L_{t}}, \tilde{\mathscr{L}}(X)_{t}$ получаются из $W, L, \mathscr{L}(X)$ так же, как $\tilde{X}_{t}$ из $X$ по формуле (6.7).

Для любого ограниченного оператора $A$ в $\mathfrak{g}=\mathscr{C}_{0} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$ определен кусредненный оператор $E_{0}(A)$ в $\mathscr{H}_{0}$ по формуле
\[
((\alpha \otimes \psi(0)) \mid A(\beta \otimes \psi(0)))=\left(\alpha \mid E_{0}(A) \beta\right) ; \alpha, \beta \in \mathscr{H}_{0} .
\]
$=E_{0}\left(U_{t}^{*}(X \otimes \mathrm{I}) U_{t}\right)$. Из уравнения (6.8), учитывая, что
\[
\left(\Psi(0) \mid d \Lambda_{t} \Psi(0)\right)=\left(\Psi(0) \mid d A_{t} \Psi(0)\right)=\left(\Psi(0) \mid d A_{t}^{+} \Psi(0)\right)=0,
\]
(это следует из (2.14)-(2.16)), получаем
\[
d \Psi_{t}(X)=\Psi_{t}(\mathscr{L}(X)) d t,
\]

откуда $\Psi_{t}(X)=\exp t \mathscr{L}(X)$. Таким образом, получается искомое квантово-вероятностное представление для квантовой динамической полугруппы с производящим оператором (6.2):
\[
e^{t \mathscr{R}}(X)=E_{0}\left(U_{t}^{*}(X \otimes \mathrm{I}) U_{t}\right),
\]

где $U_{t}$ удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (5.10). Унитарное расщирение (6.9) полугруппы $\exp t \mathscr{L}$ неединственно хотя бы потому, что оператор $\mathbb{W}$ из (5.10) не входит в представление (6.2) производящего оператора полугруппы. Аналогичное представление имеет место и для общей квантовой динамической полугруппы с генератором (6.1), при этом надо рассматривать аналог уравнения (5.10) с конечным или счетным числом основных дифференциалов $d \Lambda_{j}, d A_{j}, d A_{j}+$, Более подробно о физических аспектах построенного расширения, в частности, о связи с группой временных сдвигов, см. в $[29]$.

Покажем теперь, что правая часть соотношения (6.9) может быть выражена через решение некоторых классически и стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}_{0}$, содержащих винеровский нли пуассоновский процесс. Пусть $\alpha$-произвольный фиксированный вектор из $\mathscr{H}_{0}$. Вводя кривую $\left\{\varphi_{1}\right\}$ в гильбертовом пространстве $\mathfrak{5}$ по формуле
\[
\varphi_{t}=U_{t}(\alpha \otimes \psi(0)) ; t \geqslant 0,
\]
(где $a \otimes \psi(0)=[\alpha, 0, \ldots, 0, \ldots]$ ), ‘соотношение (6.9) можно перепнсать в виде
\[
\left(\alpha \mid \sigma^{t \mathscr{P}}(X) a\right)=\left(\varphi_{i} \mid(X \otimes I) \varphi_{i}\right) .
\]

Из (5.10) получаем, что $\varphi_{t}$ удовлетворяет уравнению
\[
d \varphi_{t}=\left[(W-\mathrm{I}) d \Lambda_{t}+L d A_{t}^{+}-L^{*} W d A_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] \varphi_{t}
\]

Заметим теперь, что коэффициенты при $d \Lambda$, и $d A_{t}$ в уравнении (6.11) могут быть произвольными, поскольку
\[
d \Lambda_{t} \varphi_{t}=0, \quad d A_{t} \varphi_{t}=0 .
\]

В самом деле, используя тот факт, что дифференциалы $d \Lambda_{t}, d A_{t}$ коммутируют с $U_{t}$ (поскольку $U_{t}$ – согласованный процесс), в соотношения (2.18), (2.19), получаем $d A_{t} \varphi_{t}=d A_{t} U_{t}(\alpha \otimes \psi(0))=$ $=U_{t}\left(\alpha \otimes d A_{t} \psi(0)\right)=0$ и аналогично $d \Lambda_{t} \varphi_{t}=0$. В частности, полагая коэффициенты при $d \Lambda_{t}, d A_{t}$ равными нулю, мы можем свести (6.11) к
\[
d \varphi_{t}=\left[L d A_{t}^{+}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] \varphi_{t} ;\left(\varphi_{0}=\alpha \otimes \Psi(0)\right) .
\]

Заметим, что используя формулы (5.15), решение этого уравнения можно записать в виде хронологически упорядоченной экспоненты
\[
\varphi_{t}=\exp \int_{0}^{t}\left[L d A_{s}^{+}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d s\right] \cdot(\alpha \otimes \psi(0)) .
\]

С другой стороны, принимая во внимание соотношения (2.9), (4.4) и (6.12), мы можем преобразовать уравнение (6.13) к любому из следующих видов
\[
\begin{array}{c}
d \varphi_{t}=\left[L d Q_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] \varphi_{t} \\
d \varphi_{t}=\left[i L d P_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] \varphi_{t} \\
d \varphi_{t}=\left[\lambda-1 / 2 L d \Pi_{t}^{(\lambda)}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L+\sqrt{\lambda} L\right) d t\right] \varphi_{t} .
\end{array}
\]

Воспольуемся установленной в $\$ \$ 3,4$ эквивалентностью процессов $\left\{Q_{t}\right\},\left\{P_{t}\right\}$ стандартному винеровскому процессу $\left\{W_{t}\right\}$ и процесса $\left\{\Pi_{t}^{(\lambda \lambda)}\right\}$-пуассоновскому процессу $\left\{N_{t}\right\}$. Тогда, например, используя (6.14), (3.3), (3.6) мы можем переписать (6.10) в виде

где $\varphi_{t(\omega)}$ – решение классического стохастического дифференциального уравнения в $\mathscr{6}_{0}$ :
\[
d \varphi_{t}^{\prime}=L \varphi_{t}^{\prime} d W_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) \varphi_{t}^{\prime} d t ;\left(\varphi_{0}^{\prime}=\alpha\right) .
\]

Отметим, что подобное представление для полугрупп с производящим оператором типа (6.1) (не обязательно удовлетворяющих условию (ii)) было найдено Скороходом [6] и, в контексте квантовых динамических полугрупп, в работе [10].

Исползуя (6.15), аналогично получаем представление (6.17), где вместо $\varphi_{t}^{\prime}(\omega)$ следует подставить $\varphi_{t}^{\prime \prime}(\omega)$-решение уравнения
\[
d \varphi_{t}^{*}=-i L \varphi_{t}^{*} d W_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) \varphi_{t}^{\prime} d t ;\left(\varphi_{0}^{*}=\alpha\right) .
\]

Наконец, из (6.16), (4.5), (4.8) получаем представление (6.17), где вместо $\varphi_{t}^{\prime}(\omega)$ следует подставить $\varphi_{t}^{\prime \prime}(\omega)$ – решение уравнения
\[
d \varphi_{t}^{\prime \prime}=\lambda^{-1 / 2} L \varphi_{t}^{m} d N_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L+\sqrt{\lambda} L\right) \varphi_{t}^{\prime \prime} d t ;\left(\varphi_{0}^{\prime}=\alpha\right) .
\]

В общем случае решения уравнений (6.18) – (6.20) представляют собой кстохастические полугруппы, изученные в [6]. Мь хотим здесь заметить, что эти решения могут быть записаны через хронологически упорядоченные экспоненты. Используя

(5.15), (6.17) получаем
\[
\begin{array}{l}
\left.\left.-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L+\sqrt{\lambda} \mathscr{L}\right) d s\right]\right\}^{*} X\{\ldots\}, \\
\end{array}
\]

где многоточиями обозначены соответствующие хронологически упорядоченные экспоненты, а $\ln \left(I+\lambda^{-1 / 2} L\right)=M_{0}$ – какое-либо решение уравнеңия $\exp M_{0}-I=\lambda^{-1 / 2} L$, в предположении, что таковое существует.
Если выполняется условие
\[
\left[L, i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right]=0,
\]

то коэффициенты в уравнениях (6.18)-(6.20) коммутируют, д хронологически упорядоченные экспоненты превращаются в обычные. Рассмотрим два важных примера. Пусть
\[
\mathscr{L}(X)=L X L-\frac{1}{2} L^{2} X-\frac{1}{2} X L^{2},
\]

где $L$ – самосопряженный оператор, $H=0$, тогда условие (6.24) выполняется, причем-(6.22) дает
\[
e^{t \mathscr{L}}(X)=M e^{i W_{t} t} X e^{-i W_{t} L} .
\]

Формула (6.21) приводит к другому представлению для этой же полугруппы
\[
e^{t \mathscr{I}}(X)=\underline{M} e^{W_{t} L-t L^{*}} X e^{W_{t} L-t L^{2}} .
\]

Пусть теперь
\[
\mathscr{L}(X)=\lambda\left(W^{*} X W-X\right),
\]

где $\lambda>0, W$ – унитарный оператор в $\mathscr{B}_{0}$. Тогда (6.26) записывается в виде (6.2), где
\[
L=\sqrt{\lambda}(W-1), \quad H=\frac{\lambda}{2 i}\left(W^{*}-W\right) .
\]

Условие (6.24) при этом выполняется, и (6.23) переходит в
\[
e^{t \mathscr{L}}(X)=\underline{M}_{\lambda}\left(W^{*}\right)^{N_{t}} X W^{N_{t}} .
\]

Формулы (6.25), (6.28) дают основные примеры унитарных расширений квантовых динамических полугрупп, использующих классические процессы с независимыми приращениями. Физически это соответствует квантовой системе, взаимодействующей с «классическим резервуаром». Полное описание полугрупп, допускающих подобные расширения, дано в работе [23].

Дальнейшие сведения о квантовом стохастическом исчислении чнтатель найдет в сборниках [27], [30], [31].