В этом разделе мы коснемся наиболее важного приложения квантового стохастического исчисления — расширений квантовых динамических полугрупп [29], являющихся некоммутативным аналогом марковских полугрупп в теории вероятностей. Известно, что марковские полугруппы допускают вероятностное представление через решения стохастических дифференциальных уравнений. Такое представление осуществляет расширение полугруппы до группы временных сдвигов в пространстве функционалов от соответствующего марковского случайного процесса. Описываемая ннже конструкция распространяет эту идею на некоммутативную ситуацию. Получающееся расширение имеет естественную физическую интерпретацию.

Пусть ${\mathcal{C}}_0$ — гильбертово пространство, $\mathcal{E}\left({\mathcal{C}}_0\right)$ — алгебра всех ограниченных операторов в ${\mathcal{C}}_0;n\times n$-матрица $\left[X_6\right]$ с элементами $X_{\psi }\in \mathcal{P}\left({\mathcal{C}}_0\right)$ называется положительно определенной, если $\sum _{ij}({\psi }_i\mid X_v{\psi }_j)⩾0$ для любого набора $\left\{{\psi }_i\right\}\subset \mathcal{G}$. Отображение $Ф$ из $\mathcal{H}\left({\mathcal{H}}_0\right)$ в $\mathcal{P}\left({\mathcal{H}}_0\right)$ называется вполне положительным, если для всякой положительно определенной матрицы $\left[X_0\right]$ матрица [Ф( $X_v)$ ] является положительно определенной; отображенне Ф
называется нормальньсм, если из $X_{\alpha }\uparrow X$ в $\mathfrak{P}\left({\mathcal{H}}_0\right)$ следует $\mathrm{\Phi }\left(X_{\alpha }\right)\uparrow \mathrm{\Phi }(X{)}^{\prime \prime }$. Квантовой димамической полугруппой называется семейство $\{{\mathrm{\Phi }}_t;t\in {\mathbf{R}}_{+}\}$линейных нормальных вполне положительных отображений, удовлетворяющее условиям
(i) ${\mathrm{\Phi }}_t{\mathrm{\Phi }}_s={\mathrm{\Phi }}_{t+s};t,s\in {\mathrm{R}}_{+}$; (ii) ${\mathrm{\Phi }}_t(\mathrm{I})=\mathrm{I}$;
(iii) $\underset{t\to 0\le }{lim}{\mathrm{\Phi }}_t(X)=X$ в ультраслабой топологии $\mathfrak{R}\left({\mathcal{H}}_0\right)$.

Квантовая динамическая полугруппа называется непрерывной по норме, если $\underset{t\to 0}{lim}\underset{\Vert \mathit{x}\Vert }{sup}\Vert {\mathrm{\Phi }}_t\left(X^{\prime }\right)-X\Vert =0$. Далее рассматриваются только такне полугруппы.

В соответствии с общей теорией полугрупп в банаховом пространстве ${\mathrm{\Phi }}_t=\exp t\mathcal{L}$, где производящий оператор $\mathcal{L}$ — линейное ограниченное отображение $\mathfrak{g}\left({\mathcal{H}}_0\right)$ в $\mathfrak{Y}\left({\mathcal{H}}_0\right)$. Важный результат, полученный независимо Горини и др. [16] (в случае ) и Линдбладом [24] (в общем случае), дает общий вид производящего оператора непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы
$$\mathcal{L}\left(X^{\prime }\right)=\sum _j[L_j^{\ast }X{L}_j-\frac{1}{2}(L_j^{\ast }{L}_{j}X+X{L}_j^{\ast }{L}_f)]+i[H,X],$$

где $H$-самосопряженный оператор из $\mathfrak{B}\left({\mathcal{H}}_0\right),L_j\in \mathfrak{F}\left({\mathcal{H}}_0\right)$ и $\sum _j{L}_j^{\ast }{L}_j\in \mathfrak{B}\left({\mathcal{H}}_0\right)$.

В дальнейшем мы для простоты ограничимся случаем одного слагаемого в (6.1):
$$\mathcal{L}(X)=L^{\ast }XL-\frac{1}{2}(L^{\ast }LX+X{L}^{\ast }L)+i[H,X]$$

С физической точки зрения квантовая динамическая полугруппа $\left\{{\mathrm{\Phi }}_t\right\}$ описывает, вообще говоря, необратимую временную эволюцию квантовой системы. Пусть $X$ — произвольный оператор в гильбертовом пространстве системы ${\mathcal{C}}_0$. Полагая
$$X_t={\mathrm{\Phi }}_t(X)=\exp t\mathcal{L}(X),$$

нмеем марковское управляющее уравнение (аналог уравнения Колмогорова для произвольной функции на фазовом пространстве классической системы)

Случай обратимой эволюции соответствует $L_j\approx 0$, когда $\mathcal{L}(X)=$ $=i[H,X]$, и (6.4) переходит в уравнение Гейзенберга
$$\frac{d{X}_t}{dt}=l[H,X_t]$$
1) $X_{\alpha }\uparrow X$ означает, что $\left\{X_{\alpha }\right\}$ есть неубывающая сеть самосопряженных операторов из $\mathfrak{P}\left({\mathcal{C}}_0\right)$, слабо сходящаяся к $X\in \mathcal{P}\left({\mathcal{O}}_0\right)$. Обсуждение вероятностного смысла свойства полной положительности см. в [8], [24].

Решение уравнения (6.5) имеет вид
$$X_t=V_t^{\ast }X{V}_t,$$

где $V_t=\exp (-itH)$ — унитарный оператор обратимой эволюции в ${\mathcal{H}}_0$.

Опишем теперь конструкцию, которая позволит представить марковскую эволюцию (6.3) как результат взаимодействия данной квантовой системы, описываемой гильбертовым пространством ${\mathcal{H}}_0$, с «бозонным резервуаром», описываемым пространством Фока $\mathrm{\Gamma }\left(L^2\left({\mathbf{R}}_{+}\right)\right)$, и последующего кусреднения по вакуумному состоянию» в пространстве Фока. С математической точки зрения эта конструкция дает унитарное расширение квантовой динамической полугруппы $\left\{{\mathrm{\Phi }}_t\right\}$.

Совокупность системы и резервуара описывается гильбертовым пространством $\mathfrak{y}={\mathcal{C}}_0\otimes \mathrm{\Gamma }\left(L^2\left({\mathbf{R}}_{+}\right)\right)$. Взаимодействие между системо и резервуаром должно задаваться унитарным оператором эволюции $U_t$ в $\mathfrak{g}$. Мы предположим, что взаимодействие имеет «обновллющий» характер, так что семейство $\left\{U_t\right\}$ образует согласованный процесс, удовлетворяющий уравнению типа (5.8) (с коэффициентами $L_j$, не зависящими от $t$ ). Условие унитарности приводит тогда к уравнению (5.10), где в качестве $L,H$ мы возьмем операторы из представления (6.2). Если $X$ — произвольный оператор из $\mathfrak{Y}\left({\mathcal{C}}_0\right)$, то уравнение эволюции имеет вид
$${\tilde{X}}_t=U_i^{\ast }(X\otimes \mathrm{I})U_t,$$

где $X\otimes \mathrm{I}={\tilde{X}}_0$ обозначает «поднятие оператора $X$ в пространство $\hat{\xi }={\mathcal{C}}_0\otimes \mathrm{\Gamma }\left({\mathcal{L}}^2\left({\mathrm{R}}_{+}\right)\right)$. Используя кван товую формулу Ито, получаем стохастическое дифференциальное уравнение (квантовое уравнение Ланжевена) для ${\tilde{X}}_t$ :
$$\begin{array}{c}d{\tilde{X}}_t=({\tilde{W}}_t^{\ast }{\tilde{X}}_t{\tilde{W}}_t-{\tilde{X}}_t)d{\mathrm{\Lambda }}_t+[{\tilde{L}}_t^{\ast },{\tilde{X}}_t]{\tilde{W}}_{t}d{A}_t-\\ -{\tilde{W}}_t^{\ast }[{\tilde{L}}_t,{\tilde{X}}_t]d{A}_t^{+}+\tilde{\mathcal{L}}(X{)}_{t}dt,\end{array}$$

где $\tilde{W},\widetilde{L_t},\tilde{\mathcal{L}}(X{)}_t$ получаются из $W,L,\mathcal{L}(X)$ так же, как ${\tilde{X}}_t$ из $X$ по формуле (6.7).

Для любого ограниченного оператора $A$ в $\mathfrak{g}={\mathcal{C}}_0\otimes \mathrm{\Gamma }\left(L^2\left({\mathbf{R}}_{+}\right)\right)$ определен кусредненный оператор $E_0(A)$ в ${\mathcal{H}}_0$ по формуле
$$((\alpha \otimes \psi (0))\mid A(\beta \otimes \psi (0)))=(\alpha \mid E_0(A)\beta );\alpha ,\beta \in {\mathcal{H}}_0.$$
$=E_0(U_t^{\ast }(X\otimes \mathrm{I})U_t)$. Из уравнения (6.8), учитывая, что
$$(\mathrm{\Psi }(0)\mid d{\mathrm{\Lambda }}_t\mathrm{\Psi }(0))=(\mathrm{\Psi }(0)\mid d{A}_t\mathrm{\Psi }(0))=(\mathrm{\Psi }(0)\mid d{A}_t^{+}\mathrm{\Psi }(0))=0,$$
(это следует из (2.14)-(2.16)), получаем
$$d{\mathrm{\Psi }}_t(X)={\mathrm{\Psi }}_t(\mathcal{L}(X))dt,$$

откуда ${\mathrm{\Psi }}_t(X)=\exp t\mathcal{L}(X)$. Таким образом, получается искомое квантово-вероятностное представление для квантовой динамической полугруппы с производящим оператором (6.2):
$$e^{t\mathcal{R}}(X)=E_0(U_t^{\ast }(X\otimes \mathrm{I})U_t),$$

где $U_t$ удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (5.10). Унитарное расщирение (6.9) полугруппы $\exp t\mathcal{L}$ неединственно хотя бы потому, что оператор $\mathbb{W}$ из (5.10) не входит в представление (6.2) производящего оператора полугруппы. Аналогичное представление имеет место и для общей квантовой динамической полугруппы с генератором (6.1), при этом надо рассматривать аналог уравнения (5.10) с конечным или счетным числом основных дифференциалов $d{\mathrm{\Lambda }}_j,d{A}_j,d{A}_j+$, Более подробно о физических аспектах построенного расширения, в частности, о связи с группой временных сдвигов, см. в $[29]$.

Покажем теперь, что правая часть соотношения (6.9) может быть выражена через решение некоторых классически и стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве ${\mathcal{H}}_0$, содержащих винеровский нли пуассоновский процесс. Пусть $\alpha$-произвольный фиксированный вектор из ${\mathcal{H}}_0$. Вводя кривую $\left\{{\phi }_1\right\}$ в гильбертовом пространстве $\mathfrak{5}$ по формуле
$${\phi }_t=U_t(\alpha \otimes \psi (0));t⩾0,$$
(где $a\otimes \psi (0)=[\alpha ,0,\dots ,0,\dots ]$ ), ‘соотношение (6.9) можно перепнсать в виде
$$(\alpha \mid {\sigma }^{t\mathcal{P}}(X)a)=({\phi }_i\mid (X\otimes I){\phi }_i).$$

Из (5.10) получаем, что ${\phi }_t$ удовлетворяет уравнению
$$d{\phi }_t=[(W-\mathrm{I})d{\mathrm{\Lambda }}_t+Ld{A}_t^{+}-L^{\ast }Wd{A}_t-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L)dt]{\phi }_t$$

Заметим теперь, что коэффициенты при $d\mathrm{\Lambda }$, и $d{A}_t$ в уравнении (6.11) могут быть произвольными, поскольку
$$d{\mathrm{\Lambda }}_t{\phi }_t=0,d{A}_t{\phi }_t=0.$$

В самом деле, используя тот факт, что дифференциалы $d{\mathrm{\Lambda }}_t,d{A}_t$ коммутируют с $U_t$ (поскольку $U_t$ — согласованный процесс), в соотношения (2.18), (2.19), получаем $d{A}_t{\phi }_t=d{A}_t{U}_t(\alpha \otimes \psi (0))=$ $=U_t(\alpha \otimes d{A}_t\psi (0))=0$ и аналогично $d{\mathrm{\Lambda }}_t{\phi }_t=0$. В частности, полагая коэффициенты при $d{\mathrm{\Lambda }}_t,d{A}_t$ равными нулю, мы можем свести (6.11) к
$$d{\phi }_t=[Ld{A}_t^{+}-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L)dt]{\phi }_t;({\phi }_0=\alpha \otimes \mathrm{\Psi }(0)).$$

Заметим, что используя формулы (5.15), решение этого уравнения можно записать в виде хронологически упорядоченной экспоненты
$${\phi }_t=\exp {\int }_0^t[Ld{A}_s^{+}-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L)ds]\cdot (\alpha \otimes \psi (0)).$$

С другой стороны, принимая во внимание соотношения (2.9), (4.4) и (6.12), мы можем преобразовать уравнение (6.13) к любому из следующих видов
$$\begin{array}{c}d{\phi }_t=[Ld{Q}_t-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L)dt]{\phi }_t\\ d{\phi }_t=[iLd{P}_t-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L)dt]{\phi }_t\\ d{\phi }_t=[\lambda -1/2Ld{\mathrm{\Pi }}_t^{(\lambda )}-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L+\sqrt{\lambda }L)dt]{\phi }_t.\end{array}$$

Воспольуемся установленной в $\mathrm{\$}\mathrm{\$}3,4$ эквивалентностью процессов $\left\{Q_t\right\},\left\{P_t\right\}$ стандартному винеровскому процессу $\left\{W_t\right\}$ и процесса $\left\{{\mathrm{\Pi }}_t^{(\lambda \lambda )}\right\}$-пуассоновскому процессу $\left\{N_t\right\}$. Тогда, например, используя (6.14), (3.3), (3.6) мы можем переписать (6.10) в виде

где ${\phi }_{t(\omega )}$ — решение классического стохастического дифференциального уравнения в ${\mathcal{6}}_0$ :
$$d{\phi }_t^{\prime }=L{\phi }_t^{\prime }d{W}_t-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L){\phi }_t^{\prime }dt;({\phi }_0^{\prime }=\alpha ).$$

Отметим, что подобное представление для полугрупп с производящим оператором типа (6.1) (не обязательно удовлетворяющих условию (ii)) было найдено Скороходом [6] и, в контексте квантовых динамических полугрупп, в работе [10].

Исползуя (6.15), аналогично получаем представление (6.17), где вместо ${\phi }_t^{\prime }(\omega )$ следует подставить ${\phi }_t^{\prime \prime }(\omega )$-решение уравнения
$$d{\phi }_t^{\ast }=-iL{\phi }_t^{\ast }d{W}_t-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L){\phi }_t^{\prime }dt;({\phi }_0^{\ast }=\alpha ).$$

Наконец, из (6.16), (4.5), (4.8) получаем представление (6.17), где вместо ${\phi }_t^{\prime }(\omega )$ следует подставить ${\phi }_t^{\prime \prime }(\omega )$ — решение уравнения
$$d{\phi }_t^{\prime \prime }={\lambda }^{-1/2}L{\phi }_t^{m}d{N}_t-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L+\sqrt{\lambda }L){\phi }_t^{\prime \prime }dt;({\phi }_0^{\prime }=\alpha ).$$

В общем случае решения уравнений (6.18) — (6.20) представляют собой кстохастические полугруппы, изученные в [6]. Мь хотим здесь заметить, что эти решения могут быть записаны через хронологически упорядоченные экспоненты. Используя

(5.15), (6.17) получаем
$$\begin{array}{l}{-(iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L+\sqrt{\lambda }\mathcal{L})ds]\}}^{\ast }X\{\dots \},\end{array}$$

где многоточиями обозначены соответствующие хронологически упорядоченные экспоненты, а $\ln (I+{\lambda }^{-1/2}L)=M_0$ — какое-либо решение уравнеңия $\exp M_0-I={\lambda }^{-1/2}L$, в предположении, что таковое существует.
Если выполняется условие
$$[L,iH+\frac{1}{2}{L}^{\ast }L]=0,$$

то коэффициенты в уравнениях (6.18)-(6.20) коммутируют, д хронологически упорядоченные экспоненты превращаются в обычные. Рассмотрим два важных примера. Пусть
$$\mathcal{L}(X)=LXL-\frac{1}{2}{L}^{2}X-\frac{1}{2}X{L}^2,$$

где $L$ — самосопряженный оператор, $H=0$, тогда условие (6.24) выполняется, причем-(6.22) дает
$$e^{t\mathcal{L}}(X)=M{e}^{i{W}_{t}t}X{e}^{-i{W}_{t}L}.$$

Формула (6.21) приводит к другому представлению для этой же полугруппы
$$e^{t\mathcal{I}}(X)=\underset{―}{M}{e}^{W_{t}L-t{L}^{\ast }}X{e}^{W_{t}L-t{L}^2}.$$

Пусть теперь
$$\mathcal{L}(X)=\lambda (W^{\ast }XW-X),$$

где — унитарный оператор в ${\mathcal{B}}_0$. Тогда (6.26) записывается в виде (6.2), где
$$L=\sqrt{\lambda }(W-1),H=\frac{\lambda }{2i}(W^{\ast }-W).$$

Условие (6.24) при этом выполняется, и (6.23) переходит в
$$e^{t\mathcal{L}}(X)={\underset{―}{M}}_{\lambda }{\left(W^{\ast }\right)}^{N_t}X{W}^{N_t}.$$

Формулы (6.25), (6.28) дают основные примеры унитарных расширений квантовых динамических полугрупп, использующих классические процессы с независимыми приращениями. Физически это соответствует квантовой системе, взаимодействующей с «классическим резервуаром». Полное описание полугрупп, допускающих подобные расширения, дано в работе [23].

Дальнейшие сведения о квантовом стохастическом исчислении чнтатель найдет в сборниках [27], [30], [31].