Поясним связь между процессами с независимыми приращениями и пространством Фока. Рассмотрим дискретный аналог процесса с независимыми приращениями – последовательность сумм независимых случайных величин. Естественным вероятностным пространством, на котором определены такие последовательности, является произведение вероятностных пространств, отвечающих последовательным слагаемым. В случае процесса с независимыми приращениями естественное вероятностное пространство имеет структуру кнепрерывного произведения вероятностных пространств», отвечающих бесконечно малым приращениям [14].

С другой стороны, основным свойством пространства Фока является функториальное свойство
\[
\Gamma\left(\mathscr{H}_{1} \oplus \mathscr{H}_{2}\right)=\Gamma\left(\mathscr{H}_{1}\right) \otimes \Gamma\left(\mathscr{H}_{2}\right),
\]

так что, если $a<b<c$, то
\[
\Gamma\left(L^{2}(a, c)\right)=\Gamma\left(L^{2}(a, b)\right) \otimes \Gamma\left(L^{2}(b, c)\right) .
\]

При этом вакуум также факторизуется
\[
\psi_{(a, c)}(0)=\psi_{(a, b)}(0) \otimes \psi_{(b, c)}(10) .
\]

Поскольку $L^{2}(a, b)$ можно рассматривать как непрерывную прямую сумму одномерных гильбертовых пространств, можно ожидать, что пространство $\Gamma\left(L^{2}(a, b)\right)$ с выделенным вакуумным вектором является, в определенном смысле, непрерывным тензорным произведением «инфинитезимальных» пространств Фока Г(C). Структура непрерывного тензорного произведения и лежит в основе связи между пространством Фока, процессами с независимыми приращениями и безграничной делимостью, изученной Стритером, Партасарати и другими авторами [17].
Из (5.1), (5.2) вытекает, что для любого $t>0$
\[
\begin{array}{c}
\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)=\Gamma\left(L^{2}(0, t)\right) \otimes \Gamma\left(L^{2}(t, \infty)\right), \\
\psi(0)=\psi_{(0, t)}(0) \otimes \psi_{(t, \infty)}(0) .
\end{array}
\]

Эти соотношения задают естественную фильтрацию в множестве операторов, действующих в пространстве Фока. Семейство операторов $\left\{M_{t} ; t \in \mathbf{R}_{+}\right\}$в $\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$называется согласованным процессом, если для любого $t>0 M_{t}$ представим в виде
\[
M_{t}=M_{t_{1}} \otimes \mathrm{I}_{t t},
\]

где $M_{t 1}$ – оператор, действующий в $\Gamma\left(L^{2}(0, t)\right)$ и $\dot{\mathrm{I}}_{[t}$ – единичный оператор в $\Gamma\left(L^{2}(t, \infty)\right.$. Основные процессы $A_{t}, A_{t}{ }^{+}, \” \Lambda_{t}$ являются согласованными. Если $E_{t}, F_{t}, G_{t}, H_{t}$ – согласованные процессы, то при выполнении некоторых. условий, обеспечнвающих возможность аппроксимации $E_{t}, F_{t}, G_{t}, H_{t}$ кусочнопостоянными процессами, определен стохастический интеграл
\[
M_{t}=\int_{0}^{t}\left(E_{s} d \Lambda_{s}+F_{s} d A_{s}+G_{s} d A_{s}^{+}+H_{s} d s\right),
\]

являющийся согласованным процессом [19]. Важно отметить, что стохастические дифференциалы $d \Lambda_{t}, d A_{t}, d A_{t}{ }^{+}$действуют в пространстве $\Gamma\left(L^{2}(t, \infty)\right)$, а значения согласованных процессов $E_{t}, F_{t}, G_{t}$ в силу (5.4) фактически действуют в $\Gamma\left(L^{2}(0, t)\right)$, поэтому стохастические дифференциалы $d \Lambda_{t}, d A_{t}, d A_{t}{ }^{+}$и согласованные процессы всегда коммутируют между собой. Соотношение (5.5) обычно записывается в. дифференциальной форме
\[
d M_{t}=E_{t} d \Lambda_{t}+F_{t} d A_{t}+G_{t} d A_{t}^{+}+H_{t} d t .
\]

Благодаря соотношениям (5.3), определено отображение условного ожидания $\mathscr{E}_{t}$, переводящее операторы, действующие в $\Gamma\left(L^{2}\left(R_{+}\right)\right.$в операторы в $\Gamma\left(L^{2}(0, t)\right)$. Отображение $\mathscr{E}_{t}$ определяется формулой
\[
\left(\left(\varphi \otimes \Psi(t, \infty)+0-\mid X\left(\varphi^{\prime} \otimes \psi(t, \infty)(00)\right)\right)=\left(\varphi \mid \mathscr{E}_{t_{1}}(X) \varphi^{\prime}\right)\right.
\]

для любых $\varphi, \varphi^{\prime} \in \Gamma\left(L^{2}(0, t)\right)$ и оператора $X$ в $\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$. Согласованный процесс $\left\{M_{t}\right\}$ называется мартингалом, если $\mathscr{E}_{t_{1}}\left(M_{s}\right)=M_{t_{1}}$ при $s>t$. Доказано [26], что достаточно произвольный мартингал $\left\{M_{t}\right\}$, состоящий из ограниченных операторов, представляется в виде стохастического интеграла (5.5) с $H_{s}=0$. В этом смысле процессы $A_{t}, A_{t}+, \Lambda_{t}$ действительно являются основными. Впрочем, окончательное решение проблемы о представлении произвольного мартингала в пространстве Фока еще не найдено, см. [22].

Партасарати и Хадсон [1], [19] установили следующий квантовый аналог формулы Ито для дифференцирования произведения. Пусть $\left\{M_{t}^{\prime}\right\} ; j=1,2$, 一 согласованные процессы, такие, что
\[
d M_{t}^{j}=E_{t}^{j} d \Lambda_{t}+F_{t}^{j} d A_{t}+G_{t}^{j} d A_{t}^{+}+H_{t}^{j} d t .
\]

Тогда
\[
d\left(M_{t}^{1} \cdot M_{t}^{2}\right)=d M_{t}^{1} \cdot M_{t}^{2}+M_{t}^{1} \cdot d M_{t}^{2}+d M_{t}^{1} \cdot d M_{t}^{2},
\]

где учитывается, что все согласованные процессы коммутируют с основными дифференциалами $d \Lambda_{t}, d A_{t}, d A_{t}^{+}, d t$, а произведения основньх дифференциалов при вычислении $d M_{t}^{1} \cdot d M_{t}^{2}$ находятся по следующей «таблице Ито»
\begin{tabular}{l|cccc}
& $d A^{+}$ & $d \Lambda$ & $d A$ & $d t$ \\
\hline$d A$ & $d t$ & $d A$ & 0 & 0 \\
$d \Lambda$ & $d A^{+}$ & $d \Lambda$ & 0 & 0 \\
$d A^{+}$ & 0 & 0 & 0 & 0 \\
$d t$ & 0 & 0 & 0 & 0
\end{tabular}

Поясним, например, происхождение соотношений
\[
d \Lambda d A=0, \quad d A d \Lambda=d A .
\]

Из (2.17) видно, что $d A_{t} \Psi(g)=g(t) d t \cdot \psi(g)$. Поэтому из (2.14), (2.16)
\[
(\Psi(f) \mid d \Lambda d A \Psi(g))=\overline{f(t)} g(t)^{2}(d t)^{2}(\Psi(f) \mid \Psi(g)) .
\]
3-1

Таким образом, произведение $d \Lambda d A$ имеет порядок $(d t)^{2}$, что объясняет первое из соотношений (5.7). Из (2.8) вытекает
\[
d A d \Lambda=d \Lambda d A+d A,
\]

откуда получается второе соотношение в (5.7).
Для дифференциалов процессов (2.9) из таблицы Ито получаем соотношения
\[
d Q^{2}=d t, \quad d P^{2}=d t,
\]

характерные для винеровского процесса. При этом
\[
d Q d P=i d t, \quad d P d Q=-i d t .
\]

Для дифференциала пуассоновского процесса (4.4) получаем $\left(d \Pi^{(\lambda)}\right)^{2}=d \Pi^{(\lambda)}$.

Имея понятие стохастического интеграла (5.5), можно рассматривать квантовые стохастические дифференциальные уравнения. В приложениях важную роль играют линейные уравнения вида
\[
d U_{t}=\left[L_{0}(t) d \Lambda_{1}+L_{1}(t) d A_{t}+L_{2}(t) d A_{t}^{+}+L_{3}(t) d t\right] U_{i} ; t>0,
\]

где коэффициенты $L_{j}(t)$ являются операторами в некотором фнксированном «начальном» гильбертовом пространстве $\mathscr{\mathscr { O }}_{0}$. Сформулируем задачу точнее. В качестве простанства $\mathfrak{\text { те- }}$ перь будем рассматривать тензорное произведение $\mathscr{H}_{0} \otimes$ $\otimes \Gamma\left(L^{2}\left(R_{+}\right)\right)$. Это пространство можно определить как состоящее из последовательностей
\[
\psi=\left[f_{0}, f_{1}(t), \ldots, f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right), \ldots\right],
\]

где $f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$ – симметричные функции со значениями в $\mathscr{H}_{0}$, такие, что
\[
\|\psi\|^{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} \therefore \int_{0}^{\infty} f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) \|_{\mathscr{H}}^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}<\infty .
\]

Действие любого оператора в $\Gamma\left(L^{2}\left(R_{+}\right)\right)$естественным образом кподнимается» в $\mathfrak{G}=\mathscr{C}_{0} \otimes \Gamma\left(L^{2}\left(\mathrm{R}_{+}\right)\right)$; например, под $\Lambda_{t}, A_{t}, A_{t}^{+}$ в $\mathfrak{G}$ следует понимать операторы, действующие по формулам $(2.2)-(2.4)$, где, однако, $f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$ принимает значения не в С, а в $\mathscr{H}_{0}$. С другой стороны, оператор $L$, действующий в $\mathscr{\mathscr { C }}_{0}$, кподнимается до оператора в $
preceq$, действующего по формуле
\[
L \psi=\left[L f_{0}, L f_{1}(t), \ldots, L f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right), \ldots\right],
\]

и, очевидно, коммутирующего с $\Lambda_{t}, A_{t}, A_{t}^{+}$и, вообще, с любым оператором, поднятым» с $\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbb{R}_{+}\right)\right)$. Фильтрация, согласованные процессы и стохастические интегралы в $\mathfrak{5}$ определяются аналогично случаю $\mathscr{H}_{0}=$ C. Пусть $L_{j}(t), j=0,1,2,3$, – функции на $\mathbf{R}_{+}$, значениями которых являются ограниченные операторы в $\mathscr{H}_{0}$. Решением уравнения (5.8) называется согласованный процесс $\left\{U_{t}\right\}$ в $\mathfrak{5}$, удовлетворяющий соотношению
18

—————————————————————-
0012ru_fiz_kvan_book25_no_photo_page-0020.jpg.txt

\[
U_{t}=U_{0}+\int_{0}^{t}\left[L_{0}(s) d \Lambda_{s}+L_{1}(s) d A_{s}+L_{2}(s) d A_{s}^{+}+L_{3}(s) d s\right] U_{s} ;
\]
\[
t>0 \text {. }
\]

Если функции $L_{j}(t)$ непрерывны по норме, то решение уравнения (5.8) существует и единственно в некотором естественном классе согласованных процессов. Этот факт доказывается методом последовательных приближений [19].

Укажем условия, при которых значения процесса $U_{t}$ при всех $t$ являются унитарными операторами. Дифференцируя тождества
\[
U_{i}^{*} U_{t}=U_{t} U_{i}^{*}=I
\]

по формуле Ито, получаем соотношения (мы опускаем из обозначений аргумент $t$ ):
\[
\begin{array}{cc}
L_{0}+L_{0}^{*}+L_{0}^{*} L_{0}=0, & L_{0}+L_{0}^{*}+L_{0} L_{0}^{*}=0, \\
L_{1}+L_{2}^{*}+L_{2}^{*} L_{0}=0, & L_{2}+L_{1}^{*}+L_{0} L_{1}^{*}=0, \\
L_{3}+L_{3}^{*}+L_{1} L_{1}^{*}=0 .
\end{array}
\]

Из первых двух соотношений видно, что $W=L_{0}+\mathrm{I}$ должен быть унитарным оператором. Остальные уравнения дают
\[
L_{2}=L, L_{1}=-L^{*} W, L_{3}=-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right),
\]

где $L$-произвольный, а $H$-самосопряженный ограниченный оператор (зависящие, вообще говоря, от $t$ ). Стохастическое дифференциальное уравнение (5.8) при этом прнобретает вид
\[
\begin{array}{c}
d U_{t}=\left[(W-1) d \Lambda_{t}+L d A_{t}^{+}-L^{*} W d A_{t}-\right. \\
\left.-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] \cdot U_{t} .
\end{array}
\]

Приведем формальное решение уравнения (5.8), имеющее наглядное истолкование. Пусть $M_{0}(t), \ldots, M_{3}(t)$ – непрерывные функции, значениями которых являются ограниченные операторы в $\mathscr{H}_{0}$. Введем хронологически упорядоченную экспоненту
\[
\begin{array}{c}
U_{t}=\stackrel{\leftarrow}{\exp } \int_{0}^{t}\left[M_{0}(s) d \mathrm{~A}_{s}+M_{1}(s) d A_{s}+M_{2}(s) d A_{s}^{+}+\right. \\
\left.+M_{3}(s) d s\right] \cdot U_{0},
\end{array}
\]

понимая ее как предел в подходящем смысле упорядоченных произведений
\[
\begin{array}{l}
\prod_{j=0}^{\leftarrow-1} \exp \left[M_{0}\left(s_{j}\right)\left(\Lambda_{s_{j+1}}-\Lambda_{s_{j}}\right)+M_{1}\left(s_{j}\right)\left(A_{s_{j+1}}-A_{s_{j}}\right)+\right. \\
\left.\quad+M_{2}\left(s_{j}\right)\left(A_{s_{j+1}}^{+}-A_{s_{j}}\right)+M_{3}\left(s_{j}\right)\left(s_{j+1}-s_{j}\right)\right] \cdot U_{0},
\end{array}
\]

где $0=s_{0}<\ldots<s_{n}=t$ и $\max \left(s_{j+1}-s_{j}\right) \rightarrow 0$. В упорядоченном произведении сомножители следуют в порядке убывания значений $j$ от $j=n-1$ до $j=0$. Отметим, что если все операторы $M_{0}(s), \ldots, M_{3}(s) ; \quad 0 \leqslant s \leqslant t$, коммутируют, то хронологически упорядоченная экспонента превращается в обычную.

Оставаясь на эвристическом уровне, покажем, что хронологически упорядоченная экспонента (5.11) удовлетворяет уравнению (5.8), где
\[
\begin{array}{c}
L_{0}=e^{M_{0}}-\mathrm{I}, \quad L_{1}=M_{1} a\left(M_{0}\right), \quad L_{2}=a\left(M_{0}\right) M_{2} \\
L_{3}=M_{3}+M_{1} c\left(M_{0}\right) M_{2},
\end{array}
\]

где $a(z)=z^{-1}\left(e^{z}-1\right), c(z)=z^{-2}\left(e^{z}-1-z\right)$ – целые функции аргумента $z$. Из определения хронологически упорядоченной экспоненты видно, что она должна удовлетворять соотношению
\[
d U_{t}=\left[\exp \left(M_{0} d \Lambda_{t}+M_{1} d A_{t}+M_{2} d A_{t}^{+}+M_{3} d t\right)-1\right] \cdot U_{t} .
\]

Имеем
\[
\begin{array}{l}
\exp \left(M_{0} d \Lambda+\ldots+M_{3} d t\right)-1= \\
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}\left(M_{0} d \Lambda+\ldots+M_{3} d t\right)^{n} .
\end{array}
\]

Из таблицы Ито видно, что-
\[
d \Lambda^{n}=d \Lambda, \quad d A d \Lambda^{n-1}=d A, d \Lambda^{n-1} d A^{+}=d A^{+}, d A d \Lambda^{n-2} d A^{+}=d t .
\]

Все остальные произведения основных дифференциалов равны нулю. Таким образом, $n$-й член ряда (5.13) дает вклад
\[
\begin{array}{c}
\left(M_{0} d \Lambda+\ldots+M_{3} d t\right)^{n}= \\
=\left\{\begin{array}{l}
M_{0} d \Lambda+M_{1} d A+M_{2} d A^{+}+M_{3} d t, n=1, \\
M_{0}^{n} d \Lambda+M_{1} M_{0}^{n-1} d A+M_{0}^{n-1} M_{2} d A^{+}+M_{1} M_{0}^{n-2} M_{2} d t, n \geqslant 2 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Суммируя по $n$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\exp \left(M_{0} d \Lambda+M_{1} d A+M_{2} d A+M_{3} d t\right)-1= \\
=L_{0} d \Lambda+L_{1} d A+L_{2} d A++L_{3} d t,
\end{array}
\]

где $L_{j}$ даются соотношением (5.12).
Пусть теперь задано стохастическое уравнение (5.8). Если существует какое-либо решение $M_{0}=\ln \left(\mathrm{I}+L_{0}\right)$ уравнения $e^{\boldsymbol{M}_{0}}-\mathrm{I}=L_{0}$, то, обращая формулы (5.12), получаем
\[
M_{1}=L_{1} b\left(M_{0}\right), M_{2}=b\left(M_{0}\right) L_{2}, M_{3}=L_{3}-L_{1} d\left(M_{0}\right) L_{2},
\]

где $b(z)=z\left(e^{z}-1\right)^{-1}, d(z)=\left(e^{z}-1-z\right) \cdot\left(e^{z}-1\right)^{-2}$ мероморфные функции с полюсами $\pm 2 \pi i, \pm 4 \pi i, \ldots$, в предположении, что операторы $b\left(M_{0}\right)$ и $d\left(\vec{M}_{0}\right)$ корректно определены (заметим, что $b(0)=1, d(0)=1 / 2$ )

Рассмотрим, в частности, уравнение (5.10). Поскольку Wуннтарный оператор, то $\mathbb{W}=e^{i \Phi}$, где $\Phi$ самосопряженный оператор. Используя формулы (5.15) с $M_{0}=i Ф$, получаем решение уравнения (5.10) в виде
\[
\begin{array}{l}
\left.-\left[H+L^{*}(\sin \Phi-\Phi)(2 \sin \Phi / 2)^{-2} L\right] d s\right\} \cdot U_{0}, \\
\end{array}
\]

где функции $\varphi\left(e^{\text {i0 }}-1\right)^{-1},(\sin \varphi-\varphi)(2 \sin \% / 2)^{-2}$ должны быть доопределены по непрерывности при $\varphi=0$. В частности, если в уравнении (5.10) $\mathbb{W}=I$, т.е. член с $d \Lambda$ отсутствует,
\[
d U_{t}=\left[L d A_{t}^{+}-L^{*} d A_{t}-\left(i H+\frac{1}{2} L^{*} L\right) d t\right] \cdot U_{t},
\]

To
\[
U_{t}=\stackrel{\leftarrow}{\exp } \int_{0}^{t}\left(L d A_{s}^{+}-L^{*} d A_{s}-i H d s\right) \cdot U_{0} .
\]

Отметим, что хронологически упорядоченные экспоненты вида (5.17) рассматривались в [1]; строгое определение хронологически-упорядоченных экспонент вида (5.11) и обоснование формул (5.12), (5.15), (5.16) дано в работе автора в сборнике [31].