Пусть $\left\{N_{t} ; t \in \mathrm{R}_{+}\right\}$- пуассоновский процесс интенсивности $\lambda$ на вероятностном пространстве $\left(\Omega, \mathfrak{A}, P_{\lambda}\right)$, где $\mathfrak{A}-\sigma$-алгебра, порождаемая величинами $N_{t}$. Рассмотрим гильбертово пространство $L^{2}(N)=L^{2}\left(\Omega, \mathfrak{A} P_{\Lambda}^{\prime}\right)$ квадратично интегрируемых функционалов от пуассоновского процесса. Из результата Ито [21] следует, что
\[
L^{2}(N)=\sum_{n=0}^{\infty} \oplus L_{n}^{2}(N),
\]

где $L_{0}^{2}(N)=$ С, $L_{n}^{2}(N)$ – подпространство $n$-кратных стохастических интегралов
\[
I_{n}^{(\lambda)}\left(f_{n}\right)=\int_{0<t_{1}<\ldots<t_{n}} f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) d X_{t_{1}} \ldots d X_{t_{n}},
\

где $X_{t}=\lambda^{-1 / 2}\left(N_{t}-\lambda t\right)-$ компенсированный пуассоновский процесс. Поскольку процеес $\left\{X_{t}\right\}$, как и винеровский, является процессом с независимыми приращениями со структурной функ: цией $t$, то
\[
\begin{array}{c}
M_{\lambda}\left|I_{n}^{(\lambda)}\left(f_{n}\right)\right|^{2}=\int_{0<t_{1}<\ldots<t_{n}}\left|\int_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}= \\
=\frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty}\left|f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n} .
\end{array}
\]

Из (4.1), (4.3), (2.1) следует, что формула
\[
J^{(\lambda)}(\psi)=\sum_{n=0}^{\infty} I_{n}^{(\lambda)}\left(f_{n}\right), \text { где } \psi=\left[f_{n}\right],
\]

определяет унитарный оператор $J^{(\lambda)}$ из $\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$на $L^{2}(N)$. Оказывается, что при этом пуассоновскому процессу $\left\{N_{t}\right\}$ в $L^{2}(N)$ отвечает в пространстве Фока семейство операторов
\[
\Pi_{t}^{(\lambda)}=\Lambda_{t}+\sqrt{\lambda} Q_{t}+\lambda t
\]
т. e.
\[
J^{(\lambda)} \Pi_{t}^{(\lambda)} J^{(\lambda)-1}=N_{t},
\]

где $N_{t}$ – самосопряженный оператор умножения на случайную величину $N_{t}(\omega)$ в $L^{2}(N)$.

Как и при доказательстве (3.3), ограничимся проверкой равенства матричных элементов
\[
\left(\psi(f) ; \Pi_{t}^{(\lambda)} \psi(g)\right)=\boldsymbol{M}_{\lambda}\left\{J^{(\lambda)}(\psi(f)) N_{t} J^{(\lambda)}(\psi(g))\right\} .
\]

При этом будем считать, что $f, g$-вещественные функции, удовлетворяющие условию $f(t) \geqslant-\sqrt{\lambda}, g(t) \geqslant-\sqrt{\lambda} ; t \in R_{+}$. Семейство экспоненциальных векторов $\psi(f)$, отвечающих таким $f$, сохраняет свойство полноты (ср. [11]).

В пространстве $L^{2}(N)$ экспоненциальному вектору отвечает стохастическая экспонента [13]
\[
\begin{array}{c}
\left.J^{(\lambda)}\left(\psi^{\prime} f\right)\right)=1+\int_{0}^{\infty} f(t) d X_{t}+\ldots+\int_{0<<_{2}} \ldots \int_{<t_{n}} f\left(t_{1}\right) \cdots \\
\cdots f\left(t_{n}\right) d X_{t_{1}} \ldots d X_{t_{n}}+\ldots=\exp \left(\int_{0}^{\infty} f(t) d X_{t}\right) \times \\
\times \prod_{v}\left(1+f\left(t_{v}\right) / \sqrt{\lambda}\right) \exp \left(-f\left(t_{v}\right) / \sqrt{\bar{\lambda}}\right),
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{t}_{v}$-моменты скачков процессов $N_{t}$. Выражение в правой отвечающей пуассоновскому процессу с переменной интенсивностью $\lambda+\sqrt{\lambda} f(t)$, относительно меры $P_{\lambda}$. Отметим, что, как и следовало ожидать,
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}_{\lambda}\left\{I^{(\lambda)}(\psi(f)) \cdot I^{(\lambda)}(\psi(g))\right\}= \\
=\mathbf{M}_{\lambda}\left\{\operatorname { e x p } \int _ { 0 } ^ { \infty } [ f ( t ) + g ( t ) ] d X _ { t } \cdot \prod _ { v } \left[1+f\left(t_{v}\right) / \sqrt{\lambda}+g\left(t_{v}\right) / \sqrt{\lambda}+\right.\right. \\
\left.\left.+f\left(t_{v}\right) g\left(t_{v}\right) / \lambda\right] \cdot \exp \left[-\left(f\left(t_{v}\right)+g\left(t_{v}\right)\right) / \sqrt{\lambda}\right]\right\}= \\
=\mathbf{M}_{\lambda}\left\{\exp \int_{0}^{\infty}[f(t)+g(t)+f(t) g(t) / \sqrt{\lambda}] d X_{t} \times\right. \\
\times \prod_{v}\left[1+\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\left(f\left(t_{v}\right)+g\left(t_{v}\right)+f\left(t_{v}\right) g\left(t_{v}\right) / \sqrt{\lambda}\right)\right] \times \\
\left.\times \exp \left[-\frac{1}{\sqrt{\bar{\lambda}}}\left(f\left(t_{v}\right)+g\left(t_{v}\right)+f\left(t_{v}\right) g\left(t_{v}\right) / \sqrt{\lambda}\right)\right]\right\} \times \\
\times \exp \int_{0}^{\infty} f(t) g(t) d t=\exp \int_{0}^{\infty} f(t) g(t) d t
\end{array}
\]

поскольку под знаком математического ожидания стоит $d P_{(\sqrt{\lambda}+f(\cdot))(\sqrt{\lambda}+g(\cdot))} / d P_{\lambda}$.
Используя (4.4), (2.14)-(2.16), получаем
\[
\begin{array}{c}
\left(\Psi(f) \mid \Pi_{t}^{(\lambda)} \Psi(g)\right)= \\
=\int_{0}^{t}(\sqrt{\lambda}+f(s))(\sqrt{\lambda}+g(s)) d s \cdot \exp \int_{0}^{\infty} f(t) g(t) d t .
\end{array}
\]

С другой стороны, используя преобразование как в (4.6), получаем
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}_{\lambda}\left\{I^{(\lambda)}(\Psi(f)) N_{t} I^{(\lambda)}(\Psi(g))\right\}= \\
=\mathbf{M}_{\lambda}\left\{N_{t} d P_{(\sqrt{\lambda}+f(\cdot))(\sqrt{\lambda}+g(\cdot))} / d P_{\lambda}\right\} \cdot \exp \int_{0}^{\infty} f(t) g(t) d t= \\
=M_{(\sqrt{\lambda}+f(\cdot))(\sqrt{\lambda}+g(\cdot))}\left\{N_{t}\right\} \cdot \exp \int_{0}^{\infty} f(t) g(t) d t,
\end{array}
\]

что совпадает с (4.7).
Соотношение (4.5) означает, что семейство операторов $\left\{\Pi_{t}^{(\lambda)}\right\}$ диагонализуемо. Согласно (1.3) оно является пуассоновским процессом в пространстве Фока с вакуумным вектором, в том смысле, что
\[
\left(\psi(0) \mid f\left(\Pi_{i_{1}}^{(\lambda)}, \ldots, \Pi_{t_{n}}^{(\lambda)}\right) \psi(0)\right)=\mathbf{M}_{\lambda} f\left(\boldsymbol{N}_{t_{1}}, \ldots, N_{t_{n}}\right),
\]

для любой ограниченной борелевской функции $f$. Из (4.4) видно, что процесс $\left\{\Lambda_{t}\right\}$ в-пространстве Фока с вакуумным вектором можно назвать пуассоновским процессом нулевой интенсивности. Поскольку $\Lambda_{t} \psi(0)=0$, то для любой $f$
\[
\left(\psi(0) \mid f\left(\Lambda_{i}, \ldots, \Lambda_{t_{n}}\right) \psi(0)\right)=f(0, \ldots, 0),
\]
т. е. $\left\{\Lambda_{t}\right\}$ по распределению совпадает со случайным процессом, равным нулю почти наверное.

С точки зрения классической теории вероятностей соотношение (4.4) не может не вызвать удивления – пуассоновский процесс представлен как сумма винеровского процесса с постоянным сносом и процесса, равно нулю почти наверное. Дело, конечно, в том, что слагаемые не коммутируют и поэтому не могут рассматриваться как классические случайные процессы на одном и том же вероятностном пространстве. Отметим, что подобная связь между пуассоновским и нормальным распределением хорошо известна в квантовой оптике [2].
Соотношение (4.4) можно переписать в виде
\[
\frac{\Pi_{t}^{(\lambda)}-\lambda t}{\sqrt{\lambda}}=Q_{t}+\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \Lambda_{t},
\]

откуда сразу следует сходимость компенсированного пуассоновского процесса к винеровский при $\lambda \rightarrow \infty$; слагаемое $\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \Lambda_{t}$ дает оценку остаточного члена. При различных $\lambda$ процессы $\left\{\Pi_{t}^{(\lambda)}\right\}$ не коммутируют между собой; из (2.10)-(2.12) следует
\[
\left[\Pi_{t}^{(\lambda)}, \Pi_{t}^{(\mu)}\right]=i(\sqrt{\lambda}-\sqrt{\mu}) P_{t} .
\]

В заключение отметим, что в подходящее пространство Фока $\Gamma\left(L_{\mathscr{K}}^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$, где $L_{\mathscr{K}}^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)$-пространство квадратично интегрируемых функций со значениями в некотором гильбертовом пространстве $\mathscr{K}$, может быть вложен произвольный стохастически непрерывный прощесс с независимыми приращениями. Представление такого процесса требует, вообе говоря, бесконечного числа независимых процессов рождения-уничтожения-сохранения.