Чтобы понять, какую роль играют в этой тематике операторы, покажем, как на операторном языке формулируются обычные понятия теории вероятностей. С вероятностным пространством ( $\Omega, \mathfrak{A}, P$ ) можно связать комплексное гильбертово пространство $\mathfrak{g}=L^{2}(\Omega, \mathfrak{A}, P)$. Всякая вещественная случайная величина $X(\omega), \omega \in \Omega$, задает самосопряженный оператор $X$ в 5 оператор умножения; действующий на вектор $\psi \in \sqsubseteq$ по формуле
\[
(X \psi)(\omega)=X(\omega) \psi(\omega) .
\]

Если $X(\omega)$ существенно ограничена по мере $P$, то эта формула задает ограниченный оператор, определенный на всем гильбертовом пространстве $\mathfrak{5}$; в противном случае $X$ имеет область определения $\mathscr{D}
eq \emptyset$. С этой точки зрения случайный процесс – это семейство операторов умножения $\left\{X_{t}(\omega) ; t \in T\right\}$, действующих в гильбертовом пространстве $\mathfrak{G}=L^{2}(\Omega, \mathfrak{A}, P)$. Конечномерные распределения процесса $\left\{X_{t}\right\}$ могут быть заданы формулой
\[
\begin{aligned}
M f\left(X_{t_{1}}, \ldots, X_{t_{n}}\right) & \equiv \int f\left(X_{t_{1}}(\omega), \ldots, X_{t_{n}}(\omega)\right) d P(\omega)= \\
= & \left(\psi \mid f\left(X_{t_{1}}, \ldots, X_{t_{n}}\right) \psi\right),
\end{aligned}
\]

где $\psi$ вектор в э, определяемый функцей $\psi(\omega) \equiv 1, f$-произвольная ограниченная борелевская функция, а $f\left(X_{t_{1}}, \ldots, X_{t_{n}}\right)$ оператор умножения на функцию $f\left(X_{t_{1}}(\omega), \ldots, \ddot{X}_{t n}(\omega)\right)$.

нство и $X$ – произвольный самосопряженный оператор в $\mathfrak{6}$. Одна из формулировок спектральной теоремы (см., например, [3], [4]) утверждает, что существует пространство с конечной мерой $(\Lambda, \mathfrak{g}, \mu)$, унитарный оператор $U$ из $\mathfrak{g}$ на $L^{2}(\Lambda, \mathfrak{F}, \mu)$ и вещественная измеримая функция $X(\lambda)$ на $\Lambda$ такие, что
\[
\left(U X U^{-1} \psi\right)(\lambda)=X(\lambda) \psi(\lambda) .
\]

Говорят, что существует представление, в котором оператор $X$ диагонализуется, т. е. задается умножением на функцию $X(\lambda)$. Самосопряженные операторы играют роль вещественных случайных величин в квантовой теории вероятностей. Принципиальное отличие от классической теории вероятностей заключается в том, что представление, в котором случайная величина изображается функцией, вообще говоря, различно для различных случайных величин.

Семейство операторов $\left\{X_{\alpha}\right\}$ в $\mathfrak{G}$ называется диагонализуемым, если существует представление, в котором все $X_{\alpha}$ диагонализуются:
\[
\left(U X_{\alpha} U^{-1} \psi\right)(\lambda)=X_{\alpha}(\lambda) \psi(\lambda) .
\]

Если $X_{1}, \ldots, X_{n}$ – диагонализуемое семейство операторов, $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ – борелевская функция, то определен оператор $f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ по формуле
\[
\left(U f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) U^{-1} \Psi\right)(\lambda)=f\left(X_{1}(\lambda), \ldots, X_{n}(\lambda)\right) \psi(\lambda) .
\]

В частности, если $X$-самосопряженный оператор, $f(x)$ борелевская функция, то однозначно определен оператор $f(X)$. Физически диагонализуемость семейства $\left\{X_{\alpha}\right\}$ означает, что все величины $X_{\alpha}$ совместимы, т. е. могут быть измерены в одном эксперименте. Наличие несовместимых величин, не имеющее аналога в классической теорин вероятностей, отражает фундаментальное свойство \”дополнительности» в физике микромира (см., например, [9]).

Квантовым случаймым процессом будем здесь называть тройку $\left(\mathfrak{W},\left\{X_{t}\right\}, \psi\right)$, где $\left\{X_{t} ; t \in T\right\}$ – семейство операторов в гильбертовом пространстве $\mathfrak{b}, \psi$ – фиксированный единичный вектор в $\mathfrak{g}$. Если $\left\{X_{t}\right\}$ диагонализуемое семейство самосопряженных операторов, то формула (1.2) возвращает нас к классическому определению случайного процесса. При этом конечномерные распределения задаются соотношением, аналогинным (1.1):
\[
\begin{array}{c}
\left(\psi \mid f\left(X_{\left.t_{1}, \ldots, X_{t n}\right)}, \psi\right)=\right. \\
=\int f\left(X_{t_{1}}(\lambda), \ldots, X_{t_{n}}(\lambda)\right)|\psi(\lambda)|^{2} \mu(d \lambda),
\end{array}
\]

где $\psi(\cdot)=U_{\psi}$. В общем случае, когда семейство $\left\{X_{t}\right\}$ не диагонализуется, вопрос о правильном обобщении понятия ко-

Приведем математический критерий диагонализуемости. Коммутатором ограниченных операторов $A$ и $B$ называется выражение $[A, B]=A B-B A$. Операторы $A$ и $B$ коммутируют, если $[A, B]=0$. При определении коммутатора неограниченных операторов могут возникнуть осложнения с областями определения. Если $\left\{X_{a}\right\}$ диагонализуемое семейство самосопряженных операторов, то для любых ограниченных борелевских функций $f$ и $g$
\[
\left[f\left(X_{a}\right), g\left(X_{B}\right)\right]=0,
\]

поскольку операторы умножения на функции $f\left(X_{\alpha}(\lambda)\right)$, $g\left(X_{\beta}(\lambda)\right)$ коммутируют. Это условие оказывается не только необходимым, но и достаточным для диагонализуемости семейства самосопряженных операторов [4]. Если же операторы $X_{a}$ ограничены, то условие (1.4) эквивалентно тому, что операторы $X_{a}$ попарно коммутируют:
\[
\left[X_{\alpha}, X_{\beta}\right]=0 .
\]