Пусть $\{W_t;t\in R_{+}\}$- стандартный винеровский процесс на вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },\mathfrak{A},P)$, где $\mathit{\sigma }$-алгебра $\mathcal{A}$ порождается величинами $W_t$. Рассмотрим пространство $L^2(W)\equiv L^2(\mathrm{\Omega },\mathfrak{A},P)$ комплексных квадратично интегрируемых функционалов от винеровского процесса. Известно [20], что
$$L^2(W)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\oplus L_n^2(W).$$

Здесь $L_0{}^2(W)$ — одномерное пространство постоянных, $L_n{}^2(W)$, $n⩾1,-$ пространство $n$-кратных стохастических интегралов

где $f_n(t_1,\dots ,t_n)$ — произвольная комплексная функция такая, что

Всякая такая функция однозначно продолжается до симметричной квадратично интегрируемой функции, определенной для всех значений аргументов $t_1,\dots ,t_n\in {\mathrm{R}}_{+}$; сохраним для этого продолжения обозначение $f_n(t_1,\dots ,t_n)$. Имеем

Из (3.1), (3.2) следует, что отображение дуальности $J$, отределенное формулой
$$J(\psi )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{I}_n\left(f_n\right)$$

где $\psi =\left[f_n\right]єG_{\text{и }}$ и ряд сходится в среднеквадратичном, является унитарным оператором из $\mathfrak{G}=\mathrm{\Gamma }\left(L^2\left({\mathbf{R}}_{+}\right)\right)$на $L^2(W)$.

Покажем, что при этом оператор $Q_t$ в $\mathfrak{G}$ переходит в оператор умножения на $W$, в $L^2(W)$, т. е.
$$JQ{J}^{-1}=W_t.$$

Для доказательства удобно воспользоваться экспоненциальными векторами. В пространстве $L^2(W)$ им соответствуют «сто10 хастические экспоненты» [13]:

Пусть $f$-вещественная функция, тогда последнее выражение представляет собоя производную Радона-Никодима меры $P_f$, отвечающей винеровскому процессу со сносом ${\int }_0^{t}f(s)ds$ относительно винеровской меры $P$. Покажем, что матричные элементы оператора $Q_{\text{t }}$ на экспоненциальных векторах совпадают с матричными элементами $W_{\text{, на }}$ нахастических экспонентах, т. е.
$$(\psi (f)\mid Q_t\mathrm{\Psi }(g))=\mathbf{M}\{J(\psi (f))W_{t}J(\psi (g))\}$$

для вещественньх $f$ и g. Из (2.9), (2.14), (2.15) следует
$$(\psi (f)\mid Q_t\psi (g))={\int }_0^t(f(s)+g(s))ds\cdot \exp {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(s)g(s)ds.$$

С другой стороны,
$$M\{J(\psi (f))W_{t}J(\psi (g))\}=$$
$$\begin{array}{rl}& =M\{W_t\exp [{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(f(s)+g(s))ds-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(f(s{)}^2+g(s{)}^2)ds]\}=\\ =& M\left\{W_t\frac{d{P}_{f+g}}{dP}\right\}\exp {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(s)g(s)ds=M_{f+g}\left\{W_t\right\}\cdot \exp {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(s)g(s)ds,\end{array}$$

что совпадает с правой частью (3.5).
Из (3.4) следует, что
$$J(Q_t\uparrow {\mathrm{\Gamma }}_e)J^{-1}=W_t\uparrow J{\mathrm{\Gamma }}_e.$$

Рассуждения, использующие, например, предложение VII. 2 из [3], показывают, что IГ, является существенной областью определения для $W_t$; отсюда следует, что $Q_t$ самосопряжен в существенном на ${\mathrm{\Gamma }}_{\text{e и }}$ ито (единственные) самосопряженные расширения операторов $Q_t$ и $W_t$ связаны соотношением (3.3).

Соотношение (3.3) означает, что семейство операторов $\left\{Q_t\right\}$ диагонализуемо, и согласно формуле (1.3)
$$(\psi (0)\mid f(Q_{t_1},\dots ,Q_{t_n})\psi (0))=\mathrm{M}f(W_{t_1},\dots ,W_{t_n})$$

для любой ограниченной борелевской функции $f$. В этом смысле квантовый случайный процесс $\left\{Q_t\right\}$ является винеровским процессом в пространстве Фока с вакуумным вектором.

На самом деле в пространстве Фока 5 имеется целое семейство винеровских процессов (не коммутирующих между собой). $=\psi (0)$. Полагая ${\tilde{Q}}_t=U^{-1}{Q}_{1}U$, получаем новый винеровский процесс в пространстве Фока с вакуумным вектором, поскольку
$$\begin{array}{c}(\psi (0)\mid f({\tilde{Q}}_{t_1},\dots ,{\tilde{Q}}_{t_n})\mathrm{\Psi }(0))=(\psi (0)\mid U^{-1}f(Q_{t_1},\dots ,Q_{t_n})U\mathrm{\Psi }(0))=\\ =((\mathrm{\Psi }(0)\mid f(Q_{t_1},\dots ,Q_{t_n})\mathrm{\Psi }(0)).\end{array}$$

Рассмотрим, в частности, калибровочные преобразования в $\mathrm{\Gamma }\left(L^2\left(R_{+}\right)\right)$, задаваемые унитарными операторами
$${\left(U_{\alpha }\psi \right)}_n(t_1,\dots ,t_n)=e^{{\text{ian }}_n}{f}_n(t_1,\dots ,t_n),$$

где $\alpha$-вещественное число. При этом $U_{\alpha }\psi (0)=\psi (0)$. Комбинируя (3.6) и (2.2), (2.3), получаем
$$U_{\alpha }^{-1}{A}_t{U}_{\alpha }=e^{i\alpha }{A}_t,U_{\alpha }^{-1}{A}_t^{†}{U}_{\alpha }=e^{-i\alpha }{A}_t^{†}.$$

Отсюда, полагая $Q_t^{(\alpha )}=U_{\alpha }^{-1}{Q}_t{U}_{\alpha }=U_{-\alpha }{Q}_t{U}_{-\alpha }^{-1}$, имеем
$$Q_t^{(\alpha )}=Q_t\cos \alpha -P_t\sin \alpha .$$

Согласно сделанному выше замечанию, $\left\{Q_t^{(\alpha )}\right\}$ является винеровским процессом в пространстве Фока с вакуумным вектором. При $\alpha =-\pi /2$ имеем
$$P_t=Q^{(-\pi /2)}=U_{\pi /2}{Q}_t{U}_{\pi /2}^{-1},$$

так что $Q_t,P_t$ являются парой винеровских процессов, удовлетворяющих коммутационному соотношению (2.11). Заметим, что преобразованию $U_{n/2}$ отвечает в $L^2(W)$ преобразование ФурьеВинера [7]:
$$I_n\left(f_n\right)\to i^{n}I\left(f_n\right).$$