Пусть $\left\{W_{t} ; t \in R_{+}\right\}$- стандартный винеровский процесс на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathfrak{A}, P)$, где $\boldsymbol{\sigma}$-алгебра $\mathfrak{\mathscr { A }}$ порождается величинами $W_{t}$. Рассмотрим пространство $L^{2}(W) \equiv L^{2}(\Omega, \mathfrak{A}, P)$ комплексных квадратично интегрируемых функционалов от винеровского процесса. Известно [20], что
\[
L^{2}(W)=\sum_{n=0}^{\infty} \oplus L_{n}^{2}(W) .
\]

Здесь $L_{0}{ }^{2}(W)$ – одномерное пространство постоянных, $L_{n}{ }^{2}(W)$, $n \geqslant 1,-$ пространство $n$-кратных стохастических интегралов
\[
I_{n}\left(f_{n}\right)=\int_{0<t_{1}<\ldots<t_{n}} \ldots \int_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) d W_{t_{1}} \ldots d W_{t_{n}}
\]

где $f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$ – произвольная комплексная функция такая, что
\[
\left.\int_{0<t_{1}<\ldots<t_{n}} \ldots \int_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}<\infty .
\]

Всякая такая функция однозначно продолжается до симметричной квадратично интегрируемой функции, определенной для всех значений аргументов $t_{1}, \ldots, t_{n} \in \mathrm{R}_{+}$; сохраним для этого продолжения обозначение $f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)$. Имеем
\[
\begin{array}{c}
M\left|I_{n}\left(f_{n}\right)\right|^{2}=\int_{0<t_{1}<\ldots<t_{n}}\left|\int_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n}= \\
=\frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} \ldots \int_{0}^{\infty}\left|f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)\right|^{2} d t_{1} \ldots d t_{n} .
\end{array}
\]

Из (3.1), (3.2) следует, что отображение дуальности $J$, отределенное формулой
\[
J(\psi)=\sum_{n=0}^{\infty} I_{n}\left(f_{n}\right)
\]

где $\psi=\left[f_{n}\right] є G_{\text {и }}$ и ряд сходится в среднеквадратичном, является унитарным оператором из $\mathfrak{G}=\Gamma\left(L^{2}\left(\mathbf{R}_{+}\right)\right)$на $L^{2}(W)$.

Покажем, что при этом оператор $Q_{t}$ в $\mathfrak{G}$ переходит в оператор умножения на $W$, в $L^{2}(W)$, т. е.
\[
J Q J^{-1}=W_{t} .
\]

Для доказательства удобно воспользоваться экспоненциальными векторами. В пространстве $L^{2}(W)$ им соответствуют «сто10 хастические экспоненты» [13]:
\[
\begin{array}{c}
J(\Psi(f))=1+\int_{0}^{\infty} f(t) d W_{t}+\ldots+\int_{0<t_{1}<\ldots<t_{n}} \ldots \int_{1} f\left(t_{1}\right) \cdot \ldots \\
\ldots f\left(t_{n}\right) d W_{t_{1}} \ldots d W_{t_{n}}+\ldots=\exp \left[\int_{0}^{\infty} f(t) d W_{t}-\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} f(t)^{2} d t\right] .
\end{array}
\]

Пусть $f$-вещественная функция, тогда последнее выражение представляет собоя производную Радона-Никодима меры $P_{f}$, отвечающей винеровскому процессу со сносом $\int_{0}^{t} f(s) d s$ относительно винеровской меры $P$. Покажем, что матричные элементы оператора $Q_{\text {t }}$ на экспоненциальных векторах совпадают с матричными элементами $W_{\text {, на }}$ нахастических экспонентах, т. е.
\[
\left(\psi(f) \mid Q_{t} \Psi(g)\right)=\mathbf{M}\left\{J(\psi(f)) W_{t} J(\psi(g))\right\}
\]

для вещественньх $f$ и g. Из (2.9), (2.14), (2.15) следует
\[
\left(\psi(f) \mid Q_{t} \psi(g)\right)=\int_{0}^{t}(f(s)+g(s)) d s \cdot \exp \int_{0}^{\infty} f(s) g(s) d s .
\]

С другой стороны,
\[
M\left\{J(\psi(f)) W_{t} J(\psi(g))\right\}=
\]
\[
\begin{aligned}
& =M\left\{W_{t} \exp \left[\int_{0}^{\infty}(f(s)+g(s)) d s-\int_{0}^{\infty}\left(f(s)^{2}+g(s)^{2}\right) d s\right]\right\}= \\
= & M\left\{W_{t} \frac{d P_{f+g}}{d P}\right\} \exp \int_{0}^{\infty} f(s) g(s) d s=M_{f+g}\left\{W_{t}\right\} \cdot \exp \int_{0}^{\infty} f(s) g(s) d s,
\end{aligned}
\]

что совпадает с правой частью (3.5).
Из (3.4) следует, что
\[
J\left(Q_{t} \uparrow \Gamma_{e}\right) J^{-1}=W_{t} \uparrow J \Gamma_{e} .
\]

Рассуждения, использующие, например, предложение VII. 2 из [3], показывают, что IГ, является существенной областью определения для $W_{t}$; отсюда следует, что $Q_{t}$ самосопряжен в существенном на $\Gamma_{\text {e и }}$ ито (единственные) самосопряженные расширения операторов $Q_{t}$ и $W_{t}$ связаны соотношением (3.3).

Соотношение (3.3) означает, что семейство операторов $\left\{Q_{t}\right\}$ диагонализуемо, и согласно формуле (1.3)
\[
\left(\psi(0) \mid f\left(Q_{t_{1}}, \ldots, Q_{t_{n}}\right) \psi(0)\right)=\operatorname{M} f\left(W_{t_{1}}, \ldots, W_{t_{n}}\right)
\]

для любой ограниченной борелевской функции $f$. В этом смысле квантовый случайный процесс $\left\{Q_{t}\right\}$ является винеровским процессом в пространстве Фока с вакуумным вектором.

На самом деле в пространстве Фока 5 имеется целое семейство винеровских процессов (не коммутирующих между собой). $=\psi(0)$. Полагая $\tilde{Q}_{t}=U^{-1} Q_{1} U$, получаем новый винеровский процесс в пространстве Фока с вакуумным вектором, поскольку
\[
\begin{array}{c}
\left(\psi(0) \mid f\left(\tilde{Q}_{t_{1}}, \ldots, \tilde{Q}_{t_{n}}\right) \Psi(0)\right)=\left(\psi(0) \mid U^{-1} f\left(Q_{t_{1}}, \ldots, Q_{t_{n}}\right) U \Psi(0)\right)= \\
=\left(\left(\Psi(0) \mid f\left(Q_{t_{1}}, \ldots, Q_{t_{n}}\right) \Psi(0)\right) .\right.
\end{array}
\]

Рассмотрим, в частности, калибровочные преобразования в $\Gamma\left(L^{2}\left(R_{+}\right)\right)$, задаваемые унитарными операторами
\[
\left(U_{\alpha} \psi\right)_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=e^{\text {ian }_{n}} f_{n}\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right),
\]

где $\alpha$-вещественное число. При этом $U_{\alpha} \psi(0)=\psi(0)$. Комбинируя (3.6) и (2.2), (2.3), получаем
\[
U_{\alpha}^{-1} A_{t} U_{\alpha}=e^{i \alpha} A_{t}, \quad U_{\alpha}^{-1} A_{t}^{\dagger} U_{\alpha}=e^{-i \alpha} A_{t}^{\dagger} .
\]

Отсюда, полагая $Q_{t}^{(\alpha)}=U_{\alpha}^{-1} Q_{t} U_{\alpha}=U_{-\alpha} Q_{t} U_{-\alpha}^{-1}$, имеем
\[
Q_{t}^{(\alpha)}=Q_{t} \cos \alpha-P_{t} \sin \alpha .
\]

Согласно сделанному выше замечанию, $\left\{Q_{t}^{(\alpha)}\right\}$ является винеровским процессом в пространстве Фока с вакуумным вектором. При $\alpha=-\pi / 2$ имеем
\[
P_{t}=Q^{(-\pi / 2)}=U_{\pi / 2} Q_{t} U_{\pi / 2}^{-1},
\]

так что $Q_{t}, P_{t}$ являются парой винеровских процессов, удовлетворяющих коммутационному соотношению (2.11). Заметим, что преобразованию $U_{n / 2}$ отвечает в $L^{2}(W)$ преобразование ФурьеВинера [7]:
\[
I_{n}\left(f_{n}\right) \rightarrow i^{n} I\left(f_{n}\right) .
\]