Упрощение общих формул. Рассмотрим теперь частный случай однородной невращающейся массы жидкости.

Применяя общие теоремы, можно обнаружить, что свободная поверхность должна быть также и поверхностью эквипотенциальной, $V=V_{0}$.

Если принять плотность рассматриваемой жидкости за единицу, то потенциал в некоторой точке будет иметь вид:
\[
V=\int_{T} \frac{d \tau}{r} .
\]

Потенциальная энергия точки в этом случае равна
\[
\int_{T} \frac{\rho V d \tau}{2}=\int_{T} \frac{V d \tau}{2} .
\]

Функция $V$ непрерывна во всей области – так же, как и на свободной поверхности; она обращается в нуль, когда ее аргумент стремится к бесконечности; снаружи притягивающего объема она не имеет ни максимумов, ни минимумов и зак.ючена между 0 и $V_{0}$; внутри функция имеет максимум, и ее значение больше $V_{0}$.

Интеграл $\int \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma$, взятый по некоторой замкнутой поверхности, окружающей рассматриваемую массу жидкости, равен интегралу $\int \Delta V d \tau$, который берется по объему, ограниченному этой поверхностью. Известно, что $\int \Delta V d \tau=-4 \pi \int \rho d \tau=-4 \pi M$.

Эта теорема верна и для участка поверхности. Она применима вне зависимости от того, пуст окруженный поверхностью объем или заполнен жидкостью. Кроме того, ее можно применять и к случаю поверхностного распределения масс.

Поскольку мы предполагаем, что рассматриваемый объем однороден и имеет единичную плотность, то верно следующее:
\[
\int_{S} \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma=\int_{T} \Delta V d \tau=-\int 4 \pi \rho d \tau=-4 \pi T,
\]

где $T$ – объем массы жидкости, а $S$ – поверхность, содержащая в себе весь этот объем, включая и саму поверхность.
Проведем нормаль из точки $M$ поверхности наружу и отметим на этой нормали точку $M^{\prime}$ так, чтобы $M M^{\prime}=d n_{e}$ (рис. 2). Тогда потенциал в точке $M^{\prime}$ будет иметь вид
Рис. 2
\[
V_{M^{\prime}}=V_{M}+\frac{\partial V}{\partial n} d n_{e} .
\]

Однако
\[
V_{M^{\prime}}<V_{M},
\]

что означает
\[
\frac{\partial V}{\partial n_{e}}<0
\]

Очевидно, это условие необходимо для равновесия: в данном случае оно всегда выполняется.

Пусть $V_{0}$ – потенциал жидкого тела на его поверхности. Предположим теперь, что существует некий электрически заряженный слой массы $M$, находящийся в равновесии с этим телом и создающий в пространстве потенциал $V^{\prime}$, причем такой, что на поверхности и внутри объема жидкости $V^{\prime}=V_{0}$.

Вне объема жидкости $V^{\prime}=V$. В самом деле, на поверхности $V^{\prime}=V_{0}$, а на бесконечном удалении от нее $V^{\prime}=0$. Однако функции $V^{\prime}$ и $V$ удовлетворяют уравнению Лапласа, и их значения на поверхности жидкой массы и на поверхности сферы очень большого радиуса одинаковы. Следовательно, эти две функции совпадают; в этом и заключается принцип Дирихле.

Согласно известным формулам,
\[
\int \frac{\partial V^{\prime}}{\partial n} d \sigma=-4 \pi M \text {. }
\]

Однако известно, что
\[
\int \frac{\partial V^{\prime}}{\partial n} d \sigma=\int \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma=-4 \pi T .
\]

Таким образом, масса $M$, распределенная по поверхности, имеет значение $T$, и наоборот; если $M=T$, то $V^{\prime}=V$.

Величину $\frac{T}{V_{0}}$ называют электрической емкостью тела ${ }^{1}$. Это понятие мы используем впоследствии при решении поставленной задачи.

Теория Ляпунова. [2] Наиболее очевидной фигурой равновесия является сфера, но существуют ли другие фигуры равновесия? Этого мы не знаем. Однако, если речь идет о фигурах устойчивого равновесия, то задача выглядит несколько иначе.

В случае сферического тела функция $W$ достигает своего абсолютного максимума, однако мы не можем утверждать а priori, что $W$ не имеет других, относительных, максимумов. Невозможность существования таких максимумов была доказана Ляпуновым. Доказательство достаточно длинно и производится по этапам.

Существование максимума энергии. Потенциал тела любого объема в произвольной его точке меньше потенциала сферического тела того же объема в его центре.

Вокруг точки $M$, принадлежащей телу $S$, опишем сферу $\Sigma$ того же объема (рис. 3).

Тело $S$ делится на два объема: объем $K$ внутри сферы $\Sigma$ и объем $A$ снаружи.
Рис. 3
Пусть $B$ – часть объема сферы $\Sigma$, находящаяся вне тела $S$.
По условию, $B=A$.
${ }^{1}$ В данном контексте под $T$ следует понимать полный электрический заряд тела.

Если $R$ – это радиус сферы, то
Потенциал $A<\frac{A}{R}$,
Потенциал $B>\frac{B}{R}=\frac{A}{R}$.

Отсюда
Потенциал $B>$ Потенциал $A$,
Потенциал $S=$ Потенциал $K+$ Потенциал $A$,
Потенциал $\Sigma=$ Потенциал $K+$ Потенциал $B$.

Следовательно,
Потенциал $\Sigma>$ Потенциал $S$.

Если $V$ – потенциал в точке $M$, а $R$ – радиус сферы $\Sigma$, то
\[
V<2 \pi R^{2} .
\]

Таким образом, энергия, равная
\[
\int \frac{V d \tau}{2}
\]

оказывается меньше, чем
\[
\pi R^{2} \int d \tau
\]

то есть
\[
W<\pi R^{2} T
\]

где $T$ – объем тела.
Учитывая, что, согласно определению $R$,
\[
T=\frac{4}{3} \pi R^{3}
\]

получим
\[
W<\frac{4}{3} \pi^{2} R^{5}
\]

Таким образом, энергия $W$ в объеме $T$ ограничена сверху; следовательно, функция $W$ имеет максимум. Я утверждаю, что этот максимум меньше максимальной энергии тела со сферической внешней поверхностью.
Однако докажем прежде следующую теорему:

Существование минимума электростатической емкости. Из всех тел одинакового объема сфера имеет наименьшую электростатическую емкость.
Действительно, из формулы (9) (стр. 15) мы знаем, что
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \int\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau
\]

интегрирование здесь производится по всему пространству.
Предположим, что поверхность проводящего тела объема $T$ покрыта электрически заряженным слоем массы ${ }^{1} T$ и что система находится в равновесии. Если обозначить соответствующий потенциал через $V^{\prime}$, то, согласно определению емкости $C$ проводника, на поверхности тела будет верно следующее равенство:
\[
C V^{\prime}=T \text {. }
\]

Внутри тела потенциал $V^{\prime}$ постоянен; снаружи $V^{\prime}$ удовлетворяет уравнению $\Delta V^{\prime}=0$ и обращается в нуль при бесконечном удалении от тела.
Согласно известной формуле, электрическая энергия ${ }^{2}$ равна:
\[
W^{\prime}=\frac{1}{2} C V^{\prime 2}=\frac{1}{2} \frac{T^{2}}{C} .
\]

Однако существует и другая формула:
\[
W^{\prime}=\frac{1}{8 \pi} \int\left[\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau,
\]

интегрирование здесь производится либо по всему пространству, либо только по внешнему объему, поскольку внутри объема функция $V$ постоянна.

Теперь докажем, что в случае однородного тела единичной плотности электрическая энергия $W^{\prime}$ меньше энергии $W$ ньютоновского потенциала.
Предположим, что потенциал $V=V^{\prime}+U$, тогда
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \int\left\{\left[\frac{\partial\left(V^{\prime}+U\right)}{\partial x}\right]^{2}+\left[\frac{\partial\left(V^{\prime}+U\right)}{\partial y}\right]^{2}+\left[\frac{\partial\left(V^{\prime}+U\right)}{\partial z}\right]^{2}\right\} d \tau,
\]
${ }^{1}$ См. прим. к стр. 21.
${ }^{2}$ По смыслу здесь и ниже лучше говорить «электростатическая энергия».

интегрирование производится по всему пространству. Очевидно,
\[
\begin{aligned}
W & =\frac{1}{8 \pi} \int\left[\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau+ \\
& +\frac{2}{8 \pi} \int\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial V^{\prime}}{\partial z} \frac{\partial U}{\partial z}\right) d \tau+ \\
& +\frac{1}{8 \pi} \int\left[\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau .
\end{aligned}
\]

Первый интеграл здесь представляет собой $W^{\prime}$.
Второй интеграл раскладывается на два. Первый из них, взятый по внутреннему объему тела, равен нулю, поскольку
\[
\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x}=\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y}=\frac{\partial V^{\prime}}{\partial z}=0
\]

Второй же, взятый по внешнему объему, преобразуется по формуле Грина к следующему виду:
\[
\int_{S} V^{\prime} \frac{\partial U}{\partial n_{e}} d \sigma-\int V^{\prime} \Delta U d \tau .
\]

Второй из этих двух интегралов равен нулю, так как $\Delta U$ снаружи равно нулю. Первый интеграл также равен нулю. В самом деле, $V^{\prime}$ на поверхности постоянно и равно $V_{0}^{\prime}$. Таким образом, второй интеграл можно записать следующим образом:
\[
V_{0}^{\prime} \int \frac{\partial U}{\partial n_{e}} d \sigma=V_{0}^{\prime} \int \frac{\partial V}{\partial n_{e}} d \sigma-V_{0}^{\prime} \int \frac{\partial V^{\prime}}{\partial n_{e}} d \sigma,
\]

но
\[
\int \frac{\partial V}{\partial n_{e}} d \sigma=4 \pi T, \quad \int \frac{\partial V^{\prime}}{\partial n_{e}} d \sigma=4 \pi T
\]

и, следовательно, этот интеграл действительно равен нулю.
Учитывая вышеизложенное,
\[
\int\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial V^{\prime}}{\partial z} \frac{\partial U}{\partial z}\right) d \tau=0 .
\]

Третий же интеграл не равен нулю, так как внутри тела $U$ не равно нулю, поскольку $V^{\prime}$ здесь постоянно, а $V$ – переменно.

Третий интеграл, таким образом, положителен и верно следующее:
\[
W>W^{\prime} \text {. }
\]

Объединив два ранее полученных результата, запишем неравенстBо:
\[
\pi R^{2} T>W>\frac{T^{2}}{2 C},
\]

откуда
\[
C>\frac{T}{2 \pi R^{2}},
\]

и, наконец,
\[
C>\frac{2 R}{3}
\]

следовательно, $C$ имеет минимум. Я утверждаю, что этот минимум емкости может быть достижим лишь для сферического тела.

Минимальное значение емкости. Предположим, что некое проводящее тело имеет такую форму, при которой электростатическая емкость минимальна. В этом случае
\[
2 W^{\prime}=\frac{M^{2}}{C}=\frac{1}{4 \pi} \int\left[\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau .
\]

Обозначив производную по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку $(x, y, z)$, через $\frac{\partial V^{\prime}}{\partial n}$, можно записать
\[
2 W^{\prime}=\frac{1}{4 \pi} \int\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial n}\right)^{2} d \tau
\]

Деформируем проводник таким образом, чтобы элемент поверхности $d \sigma$ перешел в элемент $d \sigma^{\prime}$ (рис. 4). Обозначим проекцию смещения элемента $d \sigma$ на нормаль к поверхности через $\zeta$, сохраняя знак.
Тогда приращение объема равно:
\[
\int \zeta d \sigma
\]

Рис. 4

а интеграл увеличится на
\[
\frac{M^{2} d C}{C^{2}}=\int \frac{\zeta d \sigma}{4 \pi}\left[\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial z}\right)^{2}\right]=\frac{1}{4 \pi} \int\left(\frac{\partial V^{\prime}}{\partial n}\right)^{2} \zeta d \sigma .
\]

Это значит, что потенциал остается постоянным; однако, согласно условию, тело находится в равновесии. Следовательно, функция $\frac{M^{2}}{C}$ имеет минимум, а изменение интеграла, связанное с изменением потенциала, равно нулю, так как этот интеграл имеет наименьшее значение. Обозначив поверхностную плотность через $\mu$, получим
\[
\frac{\partial V}{\partial n}=-4 \pi \mu
\]

Отсюда
\[
\frac{M^{2} d C}{C^{2}}=\int 4 \pi \mu^{2} \zeta d \sigma=4 \pi \int \mu^{2} \zeta d \sigma .
\]

Однако $d C$ должно быть равно нулю, следовательно,
\[
\int \mu^{2} \zeta d \sigma=0
\]

В то же время, учитывая, что, по определению $\zeta, \int \zeta d \sigma=0$, значение $\mu$ должно быть постоянным.

Известно, впрочем, что $M=\mu S$, где $S$ – площадь поверхности проводника, следовательно,
\[
\frac{S^{2} d C}{C^{2}}=4 \pi d T
\]

Предположим теперь, что проводник деформируется, оставаясь подобным самому себе: его емкость изменяется прямо пропорционально кубическому корню из объема, и имеет место соотношение
\[
\frac{d C}{C}=\frac{1}{3} \frac{d T}{T}
\]

откуда заключаем, что
\[
S^{2}=12 \pi T C .
\]

Таким образом, для любого тела, обладающего минимальной электростатической емкостью, выполняется данное соотношение между емкостью, объемом и площадью поверхности.

Однако в таком случае для всех тел одинакового объема емкость минимальна, если минимальна площадь поверхности, а из всех тел одинакового объема наименьшей площадью поверхности обладает сфера. Следовательно, именно сферическое тело имеет наименьшую электростатическую емкость.
Наконец, мы приступаем к завершающему этапу доказательства.
Сфера – единственная фигура равновесия. Я утверждаю, что значение $W$ максимально, если тело объема $T$ имеет форму сферы.
Пусть $T$ – соответствующий объем, тогда
\[
d T=\int \zeta d \sigma
\]
– это приращение объема (рис. 4).
Как известно,
\[
W=\int \frac{\rho V}{2} d \tau, \quad d W=\int \frac{\rho d V+V d \rho}{2} d \tau=\int V d \rho d \tau .
\]

Поскольку мы предположили, что плотность тела равна 1 , то $d \rho$ равно $-1,0$ или 1. Если тело находится в равновесии, то вблизи его поверхности, являющейся эквипотенциальной поверхностью, $d \rho=0$, т.е. если функция $V$ постоянна, то
\[
d W=V_{0} \int d \rho d \tau .
\]

Интеграл здесь равен $d T$. Таким образом,
\[
d W=V_{0} d T .
\]

Возможно установить еще одно соотношение между $d W$ и $d T$.
Предположим, что тело изменяется, оставаясь подобным самому себе. В этом случае энергия изменяется пропорционально степени $\frac{5}{3}$ его объема. Отсюда
\[
\frac{d W}{W}=\frac{5}{3} \frac{d T}{T} .
\]

Сократив $d W$ и $d T$ в двух последних равенствах, получим
\[
W=\frac{3}{5} V_{0} T
\]

Согласно определению $W$, величину $\frac{2 W}{T}$ можно назвать средним потенциалом, он равен $\frac{6}{5} V_{0}$.

Однако $W$, кроме того, определяется следующим интегралом:
\[
\frac{1}{8 \pi} \int\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau,
\]

взятым по всему пространству.
Часть его, взятая по внутренней области, по формуле Грина (4) равна
\[
\frac{1}{8 \pi} \int_{S} V \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma-\frac{1}{8 \pi} \int_{T} V \Delta V d \tau .
\]

На поверхности функция $V$ постоянна. Таким образом, имеем интеграл
\[
\frac{V_{0}}{8 \pi} \int_{S} \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma-\frac{1}{8 \pi} \int_{T} V \Delta V d \tau,
\]

который, поскольку $-\Delta V=4 \pi \rho=4 \pi$, преобразуется непосредственно к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
\frac{V_{0}}{8 \pi} \int \Delta V d \tau-\frac{1}{8 \pi} \int V \Delta V d \tau= & -\frac{V_{0}}{2} \int d \tau+\int \frac{V d \tau}{2}= \\
& =-\frac{V_{0} T}{2}+W=-\frac{5}{6} W+W=\frac{1}{6} W .
\end{aligned}
\]

Таким образом, если тело находится в равновесии, соотношение между частью интеграла, взятой по внутреннему объему, и его частью, взятой по внешнему объему, постоянно и равно $\frac{1}{5}$.

Но энергия тела обратно пропорциональна его электростатической емкости.

Отсюда можно заключить, что тело сферической формы обладает наибольшей энергией $W[3]$.

СЛУЧАЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАССЫ ЖИДКОСТИ
Общие формулы. Предположим теперь, что однородное жидкое тело вращается вокруг закрепленной оси со скоростью $\omega$.

Обозначим момент инерции относительно данной оси вращения через $J$
\[
J=\int d \tau\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

При изменении формы тела момент $J$ также изменяется. Обозначив проекцию смещения элемента поверхности $d \sigma$ на нормаль через $\zeta$, получим
\[
d J=\int \zeta d \sigma\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

Функция
\[
V+\frac{\omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
\]

была ранее обозначена через $U$.
Функция $W$ – это всегда энергия ньютоновского потенциала.
Имеет место следующее равенство:
\[
d W+\frac{\omega^{2}}{2} d J=\int \zeta\left[V+\frac{\omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] d \sigma=\int U \zeta d \sigma
\]

На поверхности равновесия $U$ постоянна и равна $U_{0}$.
Следовательно,
\[
d W+\frac{\omega^{2}}{2} d J=U_{0} \int \zeta d \sigma=U_{0} d T .
\]

Как известно, если тело деформируется, оставаясь подобным себе, $W$ и $J$ изменяются пропорционально $T$ в степени $\frac{5}{3} \cdot{ }^{1}$
Таким образом,
\[
\frac{d W+\frac{\omega^{2}}{2} d J}{W+\frac{\omega^{2}}{2} J}=\frac{5}{3} \frac{d T}{T}
\]

и, следовательно,
\[
\frac{3}{5} U_{0} T=W+\frac{\omega^{2}}{2} J=\widetilde{U} .^{2}
\]

Известно, что
\[
\Delta U=2 \omega^{2}+\Delta V=2 \omega^{2}-4 \pi \rho=2 \omega^{2}-4 \pi .
\]
${ }^{1}$ Справедливо только для однородных тел.
${ }^{2}$ См. прим. 3 на стр. 17.

Как уже отмечалось (стр. 18), одно из необходимых условий равновесия имеет вид:
\[
2 \omega^{2} \leqslant 4 \pi,
\]
т. е. значение $\Delta U$ – отрицательно.

Следовательно, функция $U$ внутри тела не может иметь минимума и, так как на поверхности она постоянна и равна $U_{0}$, внутри тела $U>U_{0}$.
Если $\Delta U=0, U$ постоянна и равна $U_{0}$.
Наконец, если $\Delta U$ положительна, то во всем объеме тела $U$ будет меньше $U_{0}$.
Рассмотрим интеграл
\[
\int U d \tau=2 W+\frac{\omega^{2}}{2} J
\]

В зависимости от знака $\Delta U$, интеграл будет больше или меньше следующего выражения либо равен ему:
\[
\int U_{0} d \tau=U_{0} \int d \tau=U_{0} T=\frac{5}{3}\left(W+\frac{\omega^{2}}{2} J\right) .
\]

Таким образом, здесь можно различать три случая:
\[
\begin{array}{lll}
\Delta U<0 & \frac{5}{3}\left(W+\frac{\omega^{2}}{2} J\right)<2 W+\frac{\omega^{2}}{2} J & W>\omega^{2} J, \\
\Delta U=0 & \frac{5}{3}\left(W+\frac{\omega^{2}}{2} J\right)=2 W+\frac{\omega^{2}}{2} J & W=\omega^{2} J, \\
\Delta U>0 & \frac{5}{3}\left(W+\frac{\omega^{2}}{2} J\right)>2 W+\frac{\omega^{2}}{2} J & W<\omega^{2} J \cdot .^{1}
\end{array}
\]

Предел скорости вращения. Предположим теперь, что угловая скорость $\omega$ непрерывно изменяется. Вследствие этого тело непрерывно деформируется ${ }^{2}$, и имеет место следующее равенство:
\[
d W+\frac{\omega^{2}}{2} d J+\omega J d \omega=\frac{3}{5} T d U_{0} .
\]
${ }^{1}$ В действительности же последнее неравенство имеет чисто формальный смысл, поскольку требует нарушения \”табу» – неравенства Пуанкаре для $\omega$.
${ }^{2}$ Объем или масса при этом удерживаются постоянными.

Так как предполагается, что фигура находится в равновесии, значение $W+\frac{\omega^{2}}{2} J$ максимально или минимально, и в любом случае верно следующее:
\[
d W+\frac{\omega^{2}}{2} d J=0
\]

Тогда
\[
\omega J d \omega=\frac{3}{5} T d U_{0},
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d U_{0}}{d \omega}>0 .^{1}
\]

Функция $U_{0}$ возрастает, когда возрастает $\omega$.
Поскольку $V$ – это ньютоновский потенциал, на поверхности выполняется следующее равенство:
\[
V=U_{0}-\frac{\omega^{2}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Таким образом, $U_{0}$ – это ньютоновский потенциал на полюсе вращающегося тела, т.е. в точке пересечения поверхности тела с осью вращения. При увеличении скорости вращения потенциал также увеличивается. Впрочем, $U_{0}$ не может превысить $2 \pi R^{2}$ (см. стр. 22 ), где $R$ радиус сферы того же объема.
Поделив равенства, получим
\[
\frac{\omega J d \omega}{W+\frac{\omega^{2}}{2} J}=\frac{d U_{0}}{U_{0}} .
\]

Если бесконечно увеличивать $\omega$, то настанет момент, когда $\omega^{2}$ превысит $\pi$, а энергия $W$ окажется меньше $\omega^{2} J$;
\[
\frac{\omega^{2} J}{\frac{\omega^{2}}{2} J+W}>\frac{2}{3},
\]

и, как следствие,
\[
\frac{2}{3} \frac{d \omega}{\omega}<\frac{d U_{0}}{U_{0}} .
\]
1 Любопытное неравенство, выражающее одно из важных свойств фигуры относительного равновесия.

При бесконечном увеличении скорости $\omega$ потенциал $U_{0}$ также должен бесконечно увеличиваться. Однако известно, что $U_{0}$ не может превысить $2 \pi R^{2}$. Следовательно, необходимо, чтобы перестала увеличиваться скорость $\omega$ либо чтобы поверхность равновесия не пересекала больше оси вращения. В последнем случае тело приобретает форму кольца.

Далее мы увидим, что к фигурам равновесия относятся эллипсоиды вращения и эллипсоиды с тремя неравными осями. Для первых $\omega<4 \pi \times 0,112$, для вторых $-\omega<4 \pi \times 0,093$.

Также возможно существование ряда фигур равновесия, для которых $\omega$ принимает бесконечное количество максимальных либо минимальных значений. К этому случаю наше рассуждение неприменимо, и $\omega$ может увеличиваться до бесконечности.

Постоянство оси вращения. До сих пор нас не занимало, равномерно ли происходит вращение массы жидкости.

Зададимся вопросом, возможно ли существование фигур относительного равновесия в случае жидкой массы, вращающейся неравномерно.
Далее будет доказано, что это невозможно.
Прежде всего можно предположить, что поскольку к телу не приложено никакой внешней силы, то центр тяжести тела неподвижен либо его движение можно считать прямолинейным и равномерным.

Равновесие не нарушится, если придать системе новую связь, т.е. перевести тело в твердое состояние. Такое движение твердого тела вокруг его центра тяжести называется движением по Пуансо.

Согласно принципу Даламбера, виртуальная работа полной силы для всякого смещения, согласованного со связями системы, равна нулю. В случае жидкого тела существует только одна такая связь, а именно несжимаемость жидкости. Если мы имеем дело с находящейся в равновесии массой газа, то равновесие a fortiori возможно только если эта масса несжимаема.

Пусть $\delta x, \delta y, \delta z$ – проекции виртуального смещения точки с координатами $x, y, z$; условие несжимаемости тогда выражается следующим соотношением:
\[
\frac{d}{d x} \delta x+\frac{d}{d y} \delta y+\frac{d}{d z} \delta z=0 .
\]

Можно различить три вида виртуальных смещений:

1) Смещения всей массы, рассматриваемые как смещения твердого тела. Применение к этому случаю принципа Даламбера показывает, что тело должно двигаться по Пуансо вокруг своего центра тяжести, как уже отмечалось выше.
2) Смещения, при которых тело испытывает деформации.
3) Смещения молекул на постоянных поверхностях равной плотности при движении тела.
Поскольку поверхности равной плотности являются поверхностями эквипотенциальными, можно записать
\[
\frac{\partial \rho}{\partial x} \delta x+\frac{\partial \rho}{\partial y} \delta y+\frac{\partial \rho}{\partial z} \delta z=0 .
\]

Так как поверхности равной плотности остаются неизменными, то внешняя форма тела также не изменяется. Таким образом, все сводится к внутренним смещениям, по которым мы и будем рассматривать виртуальную работу.

Представим себе точку $M$ с массой $m$ и координатами $x, y, z$, движущуюся со скоростью $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Ускорение движения – $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$, составляющие силы инерции – $m x^{\prime \prime}, m y^{\prime \prime}, m z^{\prime \prime}$.

Обозначим составляющие мгновенной угловой скорости относительно осей $O x, O y, O z$ через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ соответственно.
Согласно известным формулам,
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=\omega_{3} y-\omega_{2} z, \\
y^{\prime}=\omega_{1} z-\omega_{3} x, \\
z^{\prime}=\omega_{2} x-\omega_{1} y .
\end{array}\right.
\]

Составляющие ускорения выглядят следующим образом:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime \prime}=\left(\omega_{3} y^{\prime}-\omega_{2} z^{\prime}\right)+\left(\omega_{3}^{\prime} y-\omega_{2}^{\prime} z\right), \\
y^{\prime \prime}=\left(\omega_{1} z^{\prime}-\omega_{3} x^{\prime}\right)+\left(\omega_{1}^{\prime} z-\omega_{3}^{\prime} x\right), \\
z^{\prime \prime}=\left(\omega_{2} x^{\prime}-\omega_{1} y^{\prime}\right)+\left(\omega_{2}^{\prime} x-\omega_{1}^{\prime} y\right) .
\end{array}\right.
\]

Поскольку имеет место относительное равновесие, существует также равновесие между работой сил притяжения и работой силы инерции $m x^{\prime \prime}, m y^{\prime \prime}, m z^{\prime \prime}$.

Эта сила состоит из двух слагаемых: первое вычисляется исходя из допущения, что движение равномерно, второе же связано с ускоренным вращательным движением.
В некое мгновение $t$ вращение происходит вокруг оси $O P$, а в мгновение $t+d t$ мгновенной осью вращения становится $O P^{\prime}$ (рис. 5). Когда $d t$ стремится к нулю, вектор $O Q$, равный вектору $\frac{P P^{\prime}}{d t}$, стремится к некоторому предельному положению. Обозначим его проекции на координатные оси че-
Рис. 5 рез $\omega_{1}^{\prime}, \omega_{2}^{\prime}, \omega_{3}^{\prime}$.
Положим, что ось $O P$ совпадает с осью $O z$, тогда
\[
\omega_{1}^{\prime}=\omega_{2}^{\prime}=0 .
\]

Таким образом, сила инерции, обусловленная угловым ускорением, сводится к виду ( $\left.\omega_{3}^{\prime} y,-\omega_{3}^{\prime} x, 0\right)$.

Применим теперь к рассматриваемым виртуальным смещениям принцип Даламбера.

Работа сил притяжения равна нулю, так как форма тела не изменилась. Положив $\omega^{2}=\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}$, получим выражение для работы центробежной силы: $\frac{\omega^{2}}{2} d J$.
Эта работа равна нулю, так как $J$ не изменяется.
Работа силы инерции равна
\[
\omega_{3}^{\prime} \sum m(y \delta x-x \delta y) .
\]

Поскольку тело находится в равновесии, эта работа так же должна быть нулевой. Однако мы всегда можем выбрать такое виртуальное смещение, чтобы сумма
\[
\sum m(y \delta x-x \delta y)
\]

не была равна нулю – достаточно предположить, что движение происходит вокруг оси $O z$. Сумма в этом случае рассчитывается в плоскости $x o y$, в пределах проекции смещения на эту плоскость.

Значит, нулевым должно быть значение $\omega_{3}^{\prime}$, т. е. вращательное движение должно быть однородным. Что и требовалось доказать [5].

Кроме того, ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции. Это вытекает из исследований движения твердых тел [6].

Устойчивость равновесия. Теперь рассмотрим условия устойчивости равновесия.

Лежен-Дирихле доказал, что необходимым и достаточным условием устойчивости равновесия является максимальность значения $W+$ $+\frac{\omega^{2}}{2} J$.

Однако нужно делать различие между устойчивостью вре́менной и устойчивостью вековой. Лорд Кельвин, первым сделавший такое различие, назвал вековой устойчивостью такую устойчивость, которая имеет место и с учетом трения, тогда как временная устойчивость существует лишь до тех пор, пока трение не учитывается. Лорд Кельвин доказал, что необходимым и достаточным условием вековой устойчивости относительного равновесия является условие Дирихле [7].

Разумеется, это условие всегда достаточно. Однако предположим, что значение $W+\frac{\omega^{2}}{2} J$ не максимально. В этом случае, согласно теореме Кельвина, равновесие устойчиво при отсутствии трения. Если трение присутствует, то каким бы малым оно ни было, равновесие будет неустойчивым.

Представляется невозможным непосредственно применить теорему Кельвина к нашему случаю, так как она подразумевает, что всякое движение есть причина трения, что не верно для жидких масс. В самом деле, если тело изолировано в пространстве, оно смещается как единое целое, подобно твердому телу, и трения не возникает.

Эквивалентное твердое тело. Прежде чем двигаться дальше, необходимо определить, что мы будем называть твердым телом, эквивалентным жидкой массе. Эквивалентное твердое тело – это такое твердое тело, молекулы которого занимают в рассматриваемый момент те же положения, что и в жидкой системе.

Скорость центра тяжести такого твердого тела равна скорости центра тяжести жидкой массы.

Разумеется, и главные оси инерции занимают те же положения. Моменты вращения вокруг этих осей также совпадают с соответствующими величинами жидкой массы.

Таким образом, движение массы жидкости оказывается вполне определено в некий момент времени, однако следует заметить, что эквивалентное твердое тело в момент $t$ не совпадает с эквивалентным твердым телом в момент $t^{\prime}$.

Теорема. Живая сила жидкой массы равна сумме живой силы эквивалентного ей твердого тела и живой силы жидкой массы при ее перемещении относительно фиксированных осей, связанных с эквивалентным твердым телом.

Обозначим составляющие абсолютной скорости молекулы $m$ относительно трех фиксированных осей через $\xi, \eta, \zeta$, составляющие скорости соответствующей молекулы эквивалентного твердого тела – через $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$, а составляющие относительной скорости молекулы $m$ по отношению к эквивалентному твердому телу – через $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$. Верно следующее:
\[
\xi=\xi^{\prime}+\xi^{\prime \prime}, \quad \eta=\eta^{\prime}+\eta^{\prime \prime}, \quad \zeta=\zeta^{\prime}+\zeta^{\prime \prime} .
\]

Соответствующие живые силы равны:
\[
\begin{aligned}
T & =\sum \frac{m}{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}\right), \\
T^{\prime} & =\sum \frac{m}{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{\prime 2}\right), \\
T^{\prime \prime} & =\sum \frac{m}{2}\left(\xi^{\prime \prime 2}+\eta^{\prime \prime 2}+\zeta^{\prime \prime 2}\right) .
\end{aligned}
\]

Требуется доказать, что
\[
T=T^{\prime}+T^{\prime \prime} .
\]

Имеем
\[
\begin{aligned}
T & =\sum \frac{m}{2}\left[\left(\xi^{\prime}+\xi^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\eta^{\prime}+\eta^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\zeta^{\prime}+\zeta^{\prime \prime}\right)^{2}\right]= \\
& =T^{\prime}+T^{\prime \prime}+\sum m\left(\xi^{\prime} \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime} \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime} \zeta^{\prime \prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Теперь докажем, что
\[
\sum m\left(\xi^{\prime} \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime} \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime} \zeta^{\prime \prime}\right)=0 .
\]

Выражение в левой части представляет собой работу системы сил $S^{\prime \prime}$ – такой, что сила, действующая на молекулу $m$, имеет составляющие $m \xi^{\prime \prime}, m \eta^{\prime \prime}, m \zeta^{\prime \prime}$. Эта система сил отлична от двух других $-S$ и $S^{\prime}$, где составляющие сил равны $m \xi, m \eta, m \zeta$ и $m \xi^{\prime}, m \eta^{\prime}$, $m \zeta^{\prime}$. Две последние системы эквивалентны. Общие равнодействующие сил и результирующие моменты этих двух систем идентичны относительно трех фиксированных осей, которые по определению одинаковы у жидкой массы и эквивалентного ей твердого тела.
В самом деле,
\[
\sum m \xi=\sum m \xi^{\prime}
\]

поскольку скорость центра тяжести эквивалентного твердого тела равна скорости центра тяжести жидкой массы.
Верно также следующее равенство:
\[
\sum m\left(y \zeta^{\prime}-z \eta^{\prime}\right)=\sum m(y \zeta-z \eta),
\]

поскольку моменты вращения вокруг трех координатных осей совпадают у двух систем. Таким образом, $S=S^{\prime}$, а равнодействующая сил и работа системы $S^{\prime \prime}$ равны нулю.
Следовательно,
\[
\sum m\left(\xi^{\prime} \xi^{\prime \prime}+\eta^{\prime} \eta^{\prime \prime}+\zeta^{\prime} \zeta^{\prime \prime}\right)=0 .
\]

Условие устойчивости Лежена-Дирихле. Вернемся теперь к жидкой массе.
Имеет место равенство
\[
T-W=C^{\text {te }} .
\]

Отсюда
\[
T^{\prime}+T^{\prime \prime}-W=C^{\text {te }} .
\]

Это равенство предполагает, что трение отсутствует, иначе выражение $T^{\prime}+T^{\prime \prime}-W$ будет постоянно уменьшаться.
Положим
\[
T^{\prime}+T^{\prime \prime}-W=\varepsilon,
\]

тогда при отсутствии трения $\frac{d \varepsilon}{d t}=0$.
Однако в этом случае относительного движения нет и, следовательно, $T^{\prime \prime}=0$.
Если $T^{\prime \prime}>0$, то $\frac{d \varepsilon}{d t}<0$.
К такому вращательному движению применима теорема площадей, а его моменты вращения можно считать определенными.

Докажем, что необходимым и достаточным условием устойчивости равновесия является минимальность значения разности $T^{\prime}-W$.

Возьмем некоторое положение относительного равновесия и запишем
\[
T^{\prime}=T_{0}^{\prime}, \quad W=W_{0}, \quad T^{\prime \prime}=0 .
\]

Изменим составляющие движения молекул, но таким образом, чтобы моменты вращения не изменились (к этому ограничению мы еще вернемся впоследствии). Жидкая масса в этом случае не отклонится существенно от положения равновесия.

В самом деле, пусть $T^{\prime}$ и $W$ – значения живой силы и энергии системы, тогда
\[
T^{\prime}-W>T_{0}^{\prime}-W_{0} .
\]

И, a fortiori,
\[
T^{\prime}+T^{\prime \prime}-W>T_{0}^{\prime}-W_{0} .
\]

Впрочем, значение $T^{\prime}+T^{\prime \prime}-W=\varepsilon$ близко к $T_{0}^{\prime}-W_{0}$.
Эта величина никак не может увеличиться, следовательно, она всегда останется близкой к $T_{0}^{\prime}-W_{0}$.

Значения переменных очень мало отличаются от соответствующих значений для $T_{0}^{\prime}$ и $W_{0}$, следовательно, равновесие устойчиво, а условие достаточно.

Кроме того, оно является необходимым. В самом деле, если значение разности $T_{0}^{\prime}-W_{0}$ не минимально, можно выбрать $T^{\prime}$ и $W$ таким образом, чтобы
\[
T^{\prime}-W<T_{0}^{\prime}-W_{0}
\]

или даже
\[
T^{\prime}+T^{\prime \prime}-W<T_{0}^{\prime}-W_{0} ;
\]

значение $T^{\prime \prime}$ здесь достаточно мало.
Но $T^{\prime}+T^{\prime \prime}-W$ может только уменьшаться. Величина $T^{\prime \prime}$ устремится к нулю, а $T^{\prime}$ и $W$ не смогут восстановить свои первоначальные значения.

Теперь о вышеупомянутом ограничении. Предположим, что мы отклоняем тело от положения равновесия, не сохраняя при этом значений моментов вращения вокруг главных осей. В этом случае движение твердотельного эквивалента будет таким, что значения его моментов вращения будут несколько отличны от предыдущих значений этих моментов, и мы возвращаемся к началу доказательства.

Вращение вокруг малой оси эллипсоида инерции. Докажем, что равновесие устойчиво, только если вращение происходит вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции, связанного с жидкой массой [8].

Пусть Охуz (рис. 6) – некоторая фиксированная система координат, $O A$, $O B, O C$ – главные оси инерции, $\omega$ мгновенная скорость вращения, $\omega_{1}, \omega_{2}$, $\omega_{3}$ – проекции скорости на фикеированные оси, а $p, q, r$ – проекции скорости на оси $O A, O B, O C$. Имеет место следующее равенство:
\[
\omega^{2}=\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}=p^{2}+q^{2}+r^{2} .
\]

Пусть $O R$ – мгновенная ось вращения, а $J$ – момент инерции относительно этой оси.
Тогда
Рис. 6
\[
T^{\prime}=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)=\frac{\omega^{2}}{2} J .
\]

Пусть $\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}$ – моменты вращения относительно координатных осей. Отрезок $O M$, проекциями которого являются $\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}\right)$, зафиксирован в пространстве (теорема площадей), и верно следующее:
\[
\mu^{2}=\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{2}+\mu_{3}^{2}=C^{\mathrm{te}} .
\]

Проекциями отрезка $O M$ на систему осей $O A B C$ являются $A p$, $B q, C r$, значит,
\[
\mu^{2}=A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2} .
\]

Как нам уже известно, условие устойчивости заключается в минимальности значения разности $T^{\prime}-W$. Но если изменить ориентацию вращения, не изменяя формы тела, $W$ не изменится. Следовательно, необходимо, чтобы минимальным было значение $T^{\prime}$. Напомним, что отрезок $O M$ зафиксирован в пространстве.
Положим
\[
\begin{array}{l}
p \sqrt{A}=X, \\
q \sqrt{B}=Y, \\
r \sqrt{C}=Z .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
T^{\prime} & =\frac{1}{2}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right), \\
\mu^{2} & =\left(A X^{2}+B Y^{2}+C Z^{2}\right)=C^{\mathrm{te}} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, точка с координатами $(X, Y, Z$ ) должна лежать на поверхности данного эллипсоида и в то же время на поверхности сферы минимального радиуса. Следовательно, мгновенная ось вращения есть наименьшая ось данного эллипсоида, т. е. эллипсоида инерции.

Если $A$ – наибольшая из величин $A, B, C$, осью вращения будет ось $x$. Тогда $p=\omega, q=0, r=0$.
\[
A=J, \quad T^{\prime}=\frac{\mu^{2}}{2 J} .
\]

Следовательно, необходимо, чтобы выражение
\[
W-T^{\prime}=W-\frac{\mu^{2}}{2 J}
\]

было максимальным, т.е. должно соблюдаться равенство
\[
\delta\left(W-\frac{\mu^{2}}{2 J}\right)=0 .
\]

Достаточно, чтобы
\[
\left(W+\frac{\omega^{2}}{2} J\right)
\]

было максимальным (стр. 17), но данное условие не является необходимым.
Отсюда
\[
\delta\left(W+\frac{\omega^{2}}{2} J\right)=0 .
\]

Итак, у нас есть следующие условия:
\[
\begin{array}{l}
\delta W+\frac{\mu^{2} \delta J}{2 J^{2}}=0, \\
\delta W+\frac{\omega^{2}}{2} \delta J=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, можно ожидать, что если выполняется условие (2), то и первое условие (1) также выполняется.

Допустим, однако, что это не так, т.е., что возможна следующая система уравнений:
\[
\left\{\begin{array}{l}
W+\frac{\omega^{2}}{2} J<W_{0}+\frac{\omega^{2}}{2} J_{0}, \\
W-\frac{\mu^{2}}{2 J}>W_{0}-\frac{\mu^{2}}{2 J_{0}} .
\end{array}\right.
\]

Так как $\mu=\omega J_{0}$, получим
\[
W_{0}-\frac{\omega^{2} J_{0}}{2}<W-\frac{\omega^{2}}{2} \frac{J_{0}^{2}}{J} .
\]

Складывая неравенства, получим
\[
\frac{\omega^{2}}{2}\left(J-J_{0}\right) J<\frac{\omega^{2}}{2}\left(J J_{0}-J_{0}^{2}\right),
\]

откуда
\[
J^{2}-2 J J_{0}+J_{0}^{2}<0, \quad\left(J-J_{0}\right)^{2}<0,
\]

что есть абсурд. Следовательно, допущенное утверждение неверно и выполнение второго условия влечет за собой выполнение первого [9].