§ 5. Оценка потерь

Выше мы часто говорили о потерях, возникающих от ошибок распознавания. Уточним это понятие.

Начнем с наиболее простого случая: количество образов , распределения нормальные, матрицы ковариаций, априорные вероятности и стоимости потерь для обоих образов одинаковы, т. е. , , . Оптимальной решающей границей для этого случая является гиперплоскость , причем реализация  распознается в качестве представителя образа , если  (т. е. если  попадает в область ), и -го образа, если  (т. е. если  лежит вне области ).

Вероятность ошибочного отнесения реализации -го образа к -му принимает значение , так что  при заданном законе распределения  в одномерном случае можно найти по таблице интегралов вероятности одномерного нормального распределения [29]. По этой же таблице находится и вероятность  ошибочного отнесения реализаций -го образа к -му, так что средние потери от ошибок распознавания этих двух образов выражаются величиной .

Если пространство признаков двумерно, то достаточно повернуть координатные оси так, чтобы одна координата стала параллельной линии, соединяющей математические ожидания образов (рис. 15). При этом проекции образов на ось  полностью совпадают друг с другом и разделение образов возможно только с использованием проекции распределений и решающей границы на ось . Таким способом задача оценки потерь сводится снова к одномерному случаю. Аналогично решается задача и при : ищется главная компонента и рассматривается проекция образов на нее.

Если параметры задачи  и  для образов не одинаковы, то средние потери двух образов выражаются следующей величиной: . Если число образов больше двух, то общие потери определяются выражением

Рис. 15

где  — потери, связанные с ошибками распознавания -го образа. При неравных матрицах ковариаций  аналитические выражения для оценки потерь имеют более сложный вид, и при необходимости с ними можно познакомиться по работам [5,107].