§ 8. Другой способ рассмотрения волн в волноводе

Теперь я хочу по-другому объяснить вам, почему волновод так сильно ослабляет поля, частота которых ниже граничной частоты . Я хочу, чтобы вы получили более «физическое» представление о том, почему так резко меняется поведение волновода при низких и при высоких частотах. Для прямоугольного волновода это можно сделать, анализируя поля на языке отражений (или изображений) в стенках волновода. Такой подход годится, однако, только для прямоугольных волноводов; вот почему мы начали с математического анализа, который в принципе годится для волноводов любой формы.

Для описанного нами типа колебаний вертикальные размеры (по ) не имели никакого значения, поэтому можно не обращать внимания на верх и низ волновода и представлять себе, что волновод в вертикальном направлении простирается бесконечно. Пусть он просто состоит из двух вертикальных пластин, удаленных друг от друга на расстояние .

Давайте возьмем в качестве источника полей вертикальный провод между пластинами; по нему течет ток, который меняется с частотой . Если бы волновод не имел стенок, то от такого провода расходились бы цилиндрические волны.

Представим, что стенки волновода сделаны из идеального проводника. Тогда, в точности как в электростатике, условия на поверхности будут выполнены, если к полю провода мы добавим поле одного или нескольких правильно подобранных его изображений. Представление об изображениях работает в электродинамике ничуть не хуже, чем в электростатике, при условии, конечно, что мы учитываем запаздывание. Мы знаем, что эго так, потому что мы много раз видели в зеркале изображение источника света. А зеркало - это и есть «идеальный» проводник для электромагнитных волн оптической частоты.

Рассечем наш волновод горизонтально, как показано на фиг. 24.15, где  и  - стенки волновода, a  - источник (провод). Обозначим направление тока в проводе знаком плюс. Будь у волновода лишь одна стенка, скажем , ее можно было бы убрать, поместив изображение источника (с противоположной полярностью) в точке . Но при двух стенках появится также изображение  в стенке ; обозначим его . Этот источник также будет обладать своим изображением в ; обозначим его . Дальше, сами  и  изобразятся в  точками  и  и т. д. И для нашей пары плоских проводников с источником посредине поле между проводниками совпадет с полем, генерируемым бесконечной цепочкой источников на расстоянии  друг от друга. (Это на самом дело как раз то, что вы увидите, посмотрев на провод, расположенный посредине между двумя параллельными зеркалами.) Чтобы поля обращались в нуль на стенках, полярности токов в изображениях должны меняться от одного изображения к следующему. Иначе говоря, их фаза меняется на 180°. Поле волновода - это просто суперпозиция полей всей этой бесконечной совокупности линейных источников.

Фиг. 24.15. Линейный источник  между проводящими плоскими стенками  и .

Стенки можно заменить бесконечной последовательностью изображений источников.

Известно, что вблизи от источников поле очень напоминает статические поля. В гл. 7, § 5 (вып. 5) мы рассматривали статическое поле сетки линейных источников и нашли, что оно похоже на поле заряженной пластины, если не считать членов ряда, убывающих по мере удаления от сетки экспоненциально. У нас средняя сила источников равна нулю, потому что у каждой пары соседних источников знаки противоположны. Любые поля, существующие здесь, должны с расстоянием убывать экспоненциально. Вплотную к источнику мы в основном воспринимаем поле этого ближайшего источника; на больших расстояниях уже воздействует несколько источников, и их суммарное влияние дает нуль. Мы теперь понимаем, отчего волновод ниже граничной частоты дает экспоненциально убывающее поле. При низких частотах годится статическое приближение, и оно предсказывает быстрое ослабление полей с расстоянием.

Теперь зато возникает противоположный вопрос: отчего же в таком случае волны вообще распространяются? Теперь уже это выглядит таинственно! А причина-то в том, что при высоких частотах запаздывание полей может внести в фазу добавочные изменения, которые могут привести к тому, что поля источников с противоположной фазой будут усиливать, а не гасить друг друга. В гл. 29 (вып. 3) мы уже изучали как раз для этой задачи поля, создаваемые системой антенн или оптической решеткой. Тогда мы обнаружили, что соответствующее расположение нескольких радиоантенн может привести к такой интерференционной картине, что в одном направлении сигнал будет очень сильный, а в других сигналов вообще не будет.

Вернемся к фиг. 24.15 и посмотрим на поля на большом расстоянии от линии изображений источников. Поля будут велики лишь в некоторых направлениях, зависящих от частоты, именно в тех направлениях, в каких поля всех источников попадают в фазу друг к другу и складываются. На заметном расстоянии от источников поле в этих специальных направлениях распространяется как плоские волны. Мы изобразили такую волну на фиг. 24.16, где сплошными линиями даны гребни волн, а штрихом - впадины. Направление волны должно быть таким, чтобы разность запаздываний от двух соседних источников до гребня волны отвечала полупериоду колебания. Иными словами, разность между  и  на рисунке равна половине длины волны в пустом пространстве:

.

Тогда угол  дается условием

.                 (24.33)

Фиг. 24.16. Одна совокупность когерентных волн от вереницы линейных источников.

Имеется, конечно, и другая совокупность волн, бегущих вниз под симметричным углом по отношению к линии источников. А полное поле в волноводе (не слишком близко к источнику) является суперпозицией этих двух совокупностей волн (фиг. 24.17). Конечно, в действительности картина истинных полей совпадает с изображенной лишь в пространстве между стенками волновода.

Фиг. 24.17. Поле в волноводе можно рассматривать как наложение двух верениц плоских волн.

В таких точках, как  и , гребни двух волновых картин совпадут, и у поля будет максимум; в точках же наподобие  пики обеих волн направлены в отрицательную сторону, и поле обладает минимумом (наименьшим отрицательным значением). С течением времени поле в волноводе будет двигаться вдоль него. Длина волны будет равна  - расстоянию от  до . Она связана с  формулой

.                (24.34)

Подставляя (24.33) вместо , получаем

,             (24.35)

что в точности совпадает с (24.19).

Теперь нам становится понятно, почему волны распространяются только выше граничной частоты . Если длина волн в пустом пространстве больше , то не существует угла, под которым может появиться волна, показанная на фиг. 24.16. Необходимая для этого конструктивная интерференция возникает внезапно, едва  оказывается меньше , или, что то же самое, когда .

А если частота достаточно высока, то может появиться два или больше возможных направления распространения волн. В нашем случае это произойдет при . Но вообще-то это может происходить и при . Эти добавочные волны отвечают высшим типам волн, о которых мы говорили.

После нашего анализа становится также ясно, отчего фазовая скорость волн, бегущих по трубе, превышает  и зависит от . Когда  меняется, меняется и угол на фиг. 24.16, под которым в пустом пространстве распространяются волны, а вместе с этим меняется и скорость вдоль трубы.

Хотя мы описали волны в волноводе в виде суперпозиции полей бесконечной совокупности линейных источников, но можно убедиться в том, что тот же результат можно было бы получить, представив себе две совокупности волн в пустом пространстве, многократно отражаемых от двух идеальных зеркал вперед и назад, и вспоминая, что подобное отражение означает перемену знака фазы. Эти совокупности отражаемых волн гасили бы друг друга под всеми углами, кроме угла  [см. (24.33)]. Одну и ту же вещь можно рассматривать многими способами.