§ 8. Индуктивность и магнитная энергия

Продолжая аналогию предыдущего параграфа, мы отметили в таблице, что в соответствии с механическим импульсом  (скорость изменения которого равна приложенной силе) должна существовать аналогичная величина, равная , скорость изменения которой . Разумеется, мы не имеем права говорить, что  - это настоящий импульс цепи; на самом деле это вовсе не так. Вся цепь может быть неподвижна и вообще не иметь импульса. Просто  аналогично импульсу  в смысле удовлетворения аналогичным уравнениям. Точно так же кинетической энергии  здесь соответствует аналогичная величина . Но здесь нас ждет сюрприз. Величина  - действительно есть энергия и в электрическом случае. Так получается потому, что работа, совершаемая в единицу времени над индуктивностью, равна , а в механической системе она равна  - соответствующей величине. Поэтому в случае энергии величины не только соответствуют друг другу в математическом смысле, но имеют еще и одинаковое физическое значение.

Мы можем проследить это более подробно. В (17.16) мы нашли, что электрическая работа в единицу времени за счет сил индукции есть произведение э.д.с. и тока:

.

Подставляя вместо  ее выражение через токи из (17.34), имеем

.                       (17.36)

Интегрируя это уравнение, находим, что энергия, которая требуется от внешнего источника, чтобы преодолеть э. д. с. самоиндукции и создать ток (что должно равняться накопленной энергии ), равна

.                   (17.37)

Поэтому энергия, накопленная в индуктивности, равна .

Применяя те же рассуждения к паре катушек, изображенных на фиг. 17.8 или 17.9, мы можем показать, что полная электрическая энергия системы дается выражением

.                      (17.38)

В самом деле, начиная с тока  в обеих катушках, можно вначале включить ток  в катушке 1, оставляя . Совершенная работа как раз равна . Но теперь, включая , мы совершаем не только работу  против э. д. с. в цепи 2, но еще и добавочное количество работы - , которая есть интеграл от э. д. с.  в цепи 1, умноженный на теперь уже постоянный ток  в этой цепи.

Пусть теперь нам нужно найти силу между любыми двумя катушками, по которым идут токи  и . Прежде всего мы могли бы использовать принцип виртуальной работы, взяв вариацию от энергии (17.38). Мы должны помнить, конечно, что при изменении относительного положения катушек единственной меняющейся величиной является коэффициент взаимной индукции . Тогда мы могли бы записать уравнение виртуальной работы в виде

 (неправильно).

Это уравнение ошибочно, потому что, как мы видели раньше, в него включено только изменение энергии двух катушек и не включена энергия источников, которые поддерживают постоянными значения токов  и . Мы понимаем теперь, что эти источники должны поставлять энергию для компенсации индуцированных э. д. с. в катушках во время их движения. Если мы хотим правильно применить принцип виртуальной работы, то должны включить и эти энергии. Но мы видели, что можно сделать и короче - использовать принцип виртуальной работы, помня, что полная энергия - это взятая с обратным знаком энергия  (то что мы называем «механической энергией»). Поэтому силу можно записать в виде

.                     (17.39)

Тогда сила между катушками дается выражением

.

Воспользуемся выражением (17.38) для энергии системы из двух катушек, чтобы показать, какое интересное неравенство существует между взаимной индукцией  и коэффициентами самоиндукции  и  двух катушек. Ясно, что энергия двух катушек должна быть положительной. Если мы начинаем с нулевых токов в обеих катушках и увеличиваем эти токи до некоторых значений, то тем самым мы увеличиваем энергию всей системы. В противном случае токи самопроизвольно возрастут и будут отдавать энергию остальному миру - вещь невероятная! Далее, наше выражение для энергии (17.38) можно с таким же успехом записать в следующей форме:

.               (17.40)

Это просто алгебраическое преобразование. Эта величина должна быть всегда положительна при любых значениях  и . В частности, она должна быть положительна, когда  вдруг примет особое значение:

.                 (17.41)

Но при таком значении  первое слагаемое в (17.40) равно нулю. Если энергия положительна, то последнее слагаемое в (17.40) должно быть больше нуля. Мы получаем требование, что

.

Таким образом, мы доказали общее соотношение, что величина взаимной индукции  любых двух катушек обязательно меньше или равна геометрическому среднему двух коэффициентов самоиндукции (сам  может быть положителен или отрицателен в зависимости от выбора знаков для токов  и ):

.                        (17.42)

Соотношение между  и коэффициентами самоиндукции обычно записывают в виде

.                       (17.43)

Постоянную  называют коэффициентом связи. Если большая часть потока от одной катушки проходит через другую катушку, то коэффициент связи близок к единице; мы говорим, что катушки «сильно связаны». Если катушки значительно удалены друг от друга или же все устроено так, что взаимное проникновение их потоков очень мало, коэффициент связи становится близок к нулю, а коэффициент взаимной индукции очень мал.

Для вычисления взаимной индукции двух катушек мы дали формулу (17.30), которая представляет собой двойной контурный интеграл по обеим цепям. Мы могли бы подумать, что та же формула применима и для вывода коэффициента самоиндукции одной катушки, если оба контурных интегрирования проводить по одной и той же катушке. Однако это не так, потому что при интегрировании по двум катушкам знаменатель  под знаком интеграла стремится к нулю, когда два элемента длины находятся в одной точке. Коэффициент самоиндукции, получаемый из этой формулы, оказывается бесконечным. Происходит это потому, что формула наша - приближенная, и справедлива она только для поперечных сечений проводов в обеих цепях, малых по сравнению с расстоянием от одной цепи до другой. Ясно, что это приближение для отдельной катушки не годится. На самом деле оказывается, что индуктивность отдельной катушки стремится логарифмически к бесконечности, когда диаметр ее проволоки становится все меньше и меньше.

Значит, мы должны поискать другой способ вычисления коэффициента самоиндукции одной катушки. При этом надо учесть распределение токов внутри проводника, потому что его размеры - важный параметр. Но мы не будем считать полную индуктивность, а сосчитаем лишь ту ее часть, которая связана с расположением проводников, и не будем учитывать часть, связанную с распределением токов. Пожалуй, самый простой способ найти такую индуктивность - это использовать магнитную энергию. Ранее, в гл. 15, § 3, мы нашли выражение для магнитной энергии распределения стационарных токов:

.                    (17.44)

Если известно распределение плотности тока , то можно вычислить векторный потенциал , а затем, оценив интеграл (17.44), получить энергию. Эта энергия равна магнитной энергии самоиндукции, . Приравнивая их, получаем формулу для индуктивности:

.                   (17.45)

Мы, конечно, ожидаем, что индуктивность есть число, зависящее только от геометрии цепи, а не от тока  в цепи. Формула (17.45) действительно приводит к такому результату, потому что интеграл в ней пропорционален квадрату тока - ток входит один раз от  и еще раз от векторного потенциала . Интеграл, деленный на , зависит от геометрии цепи, но не от тока .

Выражению (17.44) для энергии распределения токов можно придать совсем другую форму, иногда более удобную для вычислений. Кроме того, как мы увидим позже, именно эта форма важна, потому что она справедлива в более общем случае. В формуле (17.44) и  и  можно связать с , поэтому можно надеяться, что энергия выразится через магнитное поле - точно так же, как нам удалось связать электростатическую энергию с электрическим полем. Начнем с подстановки  вместо . Заменить  мы не можем с той же легкостью, потому что нельзя обратить , чтобы выразить  через . Можно только записать

.                 (17.46)

Любопытно, что при некоторых ограничениях этот интеграл можно превратить в

.                 (17.47)

Чтобы увидеть это, выпишем подробно типичный множитель. Предположим, что мы взяли множитель , входящий в интеграл (17.46). Выписывая полностью компоненты, получаем

(имеются, конечно, еще два интеграла того же сорта). Проинтегрируем теперь первый множитель по , интегрируя по частям, т.е.

.

Теперь предположим, что наша система (имея в виду источники и поля) - конечная, так что, когда мы уходим на большие расстояния, все поля стремятся к нулю. Тогда при интегрировании по всему пространству подстановка  на пределах интеграла дает нуль. У нас остается только ; это, очевидно, есть часть от  и, значит, от . Если вы выпишите остальные пять множителей, то увидите, что (17.47) на самом деле эквивалентно (17.46).

А теперь мы можем заменить  на  и получить

.              (17.48)

Мы выразили энергию в магнитостатическом случае только через магнитное поле. Выражение тесно связано с формулой, которую мы нашли для электростатической энергии:

.                 (17.49)

Эти две энергетические формулы выделены потому, что иногда ими удобнее пользоваться. Обычно есть и более важная причина: оказывается, что для динамических полей (когда  и  меняются со временем) оба выражения (17.48) и (17.49) остаются справедливыми, тогда как другие данные нами формулы для электрической и магнитной энергий перестают быть верными - они годятся лишь для статических полей.

Если нам известно магнитное поле  одной катушки, мы можем найти коэффициент самоиндукции, приравнивая выражение для энергии (17.48) и . Посмотрим, что получится в результате для индуктивности длинного соленоида. Раньше мы видели, что магнитное поле в соленоиде однородно и  снаружи равно нулю. Величина поля внутри равна , где  - число витков на единицу длины намотки, а  - ток. Если радиус катушки , а длина ее  (мы считаем, что  очень велика, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами, т. е. ), то внутренний объем равен . Следовательно, магнитная энергия равна

,

что равно . Или

.             (17.50)