§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда

Теперь выпишем законы преобразования, выражающие  и  в движущейся системе через  и  в неподвижной, хотя неявно мы уже говорили о них. Поскольку  является четырехвектором, это уравнение должно выглядеть подобно (25.1), за исключением того, что  нужно заменить на , а  - на . Таким образом,

                   (25.24)

При этом предполагается, что штрихованная система координат движется по отношению к нештрихованной со скоростью  в направлении оси .

Рассмотрим один пример плодотворности идеи 4-потенциала. Чему равны векторный и скалярный потенциалы заряда , движущегося со скоростью  в направлении оси ? Задача очень упрощается в системе координат, движущейся вместе с зарядом, ибо в этой системе заряд покоится. Пусть заряд находится в начале координат системы , как это показано на фиг. 25.2.

Фиг. 25.2. Система отсчета  движется со скоростью  (в направлении оси ) по отношению к системе .

Заряд, покоящийся вначале системы координат , находится в системе  в точке . Потенциалы в точке  могут быть найдены для любой системы отсчета.

Скалярный потенциал в движущейся системе задается выражением

,               (25.25)

причем  - расстояние от заряда  до точки в движущейся системе, где производится измерение поля. Векторный же потенциал , разумеется, равен нулю.

Теперь без особых хитростей можно найти потенциалы  и  в неподвижной системе координат. Соотношениями, обратными к уравнениям (25.24), будут

                   (25.26)

Используя далее выражение для  [см. (25.25)] и равенство , получаем

.

Эта формула дает нам скалярный потенциал , который мы увидели бы в системе , но он, к сожалению, записан через координаты штрихованной системы. Впрочем, это дело легко поправимо; с помощью (25.1) можно выразить , , ,  через , , ,  и получить

.              (25.27)

Повторяя ту же процедуру для вектора , вы можете показать, что

.                      (25.28)

Это те же самые формулы, которые мы вывели в гл. 21, но там они были получены другим методом.