1.5. СФЕРИЧЕСКАЯ ВОЛНА

Фронт такой волны представляет собой сферическую поверхность, а звуковые лучи согласно определению фронта волны совпадают с радиусами сферы (рис. 1.4). В результате расхождения волн интенсивность звука убывает с удалением от источника. Так как потери энергии в среде малы, как и в случае плоской волны, то при распространении волны на небольшие расстояния с ними можно не считаться. Поэтому средний поток энергии через сферическую поверхность с радиусом (рис. 1.4) будет тот же самый, что и через любую другую сферическую поверхность с (большим

диусом если в промежутке между ними нет источника или поглотителя энергии. Следовательно, мощность звуковой волны

где и интенсивность звука для радиусов Отсюда получим квадратичный закон убывания интенсивности звука в сферической волне

где интенсивность на расстоянии единицы длины (обычно от центра сферы.

Рис. 1.4. Сферическая волна

Волновое уравнение для этого случая сможет быть получено из (1.4) путем подстановки него выражения для поверхности шарового сектора где телесный угол сектора, расстояние от центра юферичаокой волны.

Так как то волновое ур-ние (1.4) будет

Заменив в нем переменную на получим волновое уравнение в более наглядной форме:

Частное решение этого уравнения для расходящейся волны (распространяющейся в положительном направлении) имеет вид

где

амплитуда звукового давления на расстоянии единицы длины от центра сферы.

Как видно из формулы, амплитуда звукового давления уменьшается с увеличением расстояния от центра источника сферической волны по гиперболическому закону.

Подставляя выражение (1.16) в уравнение движения (1.1) и интегрируя его по времени, получаем уравнение для скорости колебаний в сферической волне:

Из этого выражения следует, что скорость колебаний не совпадает по фазе с звуковым давлением (1.16). Из (1.16) и (1.17) получаем акустическое сопротивление для сферической волны

Как видим, акустическое сопротивление содержит активную и реактивную составляющие [см. (1.7)]:

Модуль этого сопротивления

где сдвиг фаз между звуковым давлением и скоростью колебаний (1.8):

Из выражения (1.186) следует, что акустическое сопротивление в сферической волне по модулю никогда не превышает сопротивления в плоской волне [см. (1.13)]. А из выражения (1.19) следует, что чем больше отношение длины волны к ее радиусу (т. е. расстоянию от центра источника звука), тем ближе сдвиг фаз к с уменьшением этого отношения сдвиг фаз стремится к нулю, т. е. сферическая волна приближается к плоской. Например, для частоты 100 Гц (длина волны при расстоянии от центра источника звука сдвиг фаз получается равным 65°, а для частоты 5000 Гц см) при расстоянии сдвиг фаз получается около 0,5°.

Интенсивность звука для синусоидальных колебаний в сферической волне определяется выражением (1.10) с учетом (1.186): 2

Если в это выражение подставить значение из (1.186), получим, что интенсивность колебаний

Подставляя в (1.20) амплитуду звукового давления из (1.16а) и учитывая (1.15а), получаем

где