Глава 6. Маятник Фуко и закон Бэра

... Было, однако, в этом маятнике нечто, заставившее меня всмотреться в него повнимательнее.

Эдгар По

Колодец и маятник

Еще совсем недавно, в те времена, когда Санкт-Петербург назывался Ленинградом, в знаменитом Исаакиевском соборе был антирелигиозный музей. Разумеется, привлекали туда главным образом великолепие архитектуры и убранства здания. Однако, уходя, мало кто не вспоминал об удивительном маятнике (рис. 6.1). Плоскость его колебаний медленно поворачивалась с течением времени! Впервые такое наблюдение провел французский ученый Фуко в 1851 г. Опыт проводился в огромном зале Парижского Пантеона, шар маятника имел массу 28 кг, а длина попдвеса была 67 м. С тех пор такой маятник называют маятником Фуко. Как же объяснить его движение?

Если бы на Земле строго выполнялись законы Ньютона, то, как известно из школьного курса физики, маятник колебался бы в одной плоскости. Значит, в системе отсчета, связанной с Землей, законы Ньютона надо «исправить». Это делают, вводя специальные силы — силы инерции.

Силы инерции во вращающейся системе отсчета

Силы инерции приходится вводить в любой системе отсчета, движущейся относительно Солнца (точнее говоря, относительно так называемой системы неподвижных звезд) с ускорением. Такие системы называют неинерциальными системами в отличие от инерциальных систем, движущихся относительно Солнца и звезд равномерно и прямолинейно.

Рис. 6.1: В марте 1931 г. в здании Исаакиевского собора, где тогда находился Ленинградский государственный антирелигиозный музей, состоялся первый пуск маятника Фуко.

Земля, строго говоря, не является инерциальной системой отсчета,

так как она вращается вокруг Солнца и вокруг своей оси. Однако ускорениями, связанными с этими движениями, обычно можно пренебречь и пользоваться в системе Земли законами Ньютона. Но вот поворот маятника Фуко как раз объясняется действием особой силы инерции — силы Кориолиса. Поговорим о ней подробнее.

Рассмотрим простой пример вращающейся системы отсчета, в которой наглядно проявляются силы инерции. Представьте себе, что человек катается на карусели (обозначим ее угловую скорость вращения через а радиус — ). Обсудим случай, когда он еще и перебирается из одного кресла в другое (см. рис. 6.2), то есть движется в системе карусели по окружности с некоторой скоростью например, в сторону вращения.

Рис. 6.2: Силы инерции во вращающейся системе отсчета.

Внимание! Этот чисто мысленный эксперимент строжайше запрещен правилами техники безопасности!

Рассмотрим вначале движение человека в неподвижной системе отсчета. Полная скорость его движения складывается из линейной скорости карусели и скорости относительного движения

Центростремительное ускорение определяется известной формулой

По второму закону Ньютона где — горизонтальная составляющая силы реакции, действующей на человека со стороны кресла карусели.

Теперь рассмотрим это же движение в системе карусели, Там скорость равна и центростремительное ускорение Используя предыдущие два равенства, можно записать

Если мы хотим пользоваться законом Ньютона и во вращающейся системе, надо ввести силу инерции где знак «минус» указывает, что эта сила направлена от центра вращения. Сила инерции как бы отбрасывает человека от центра, когда он катается на карусели. Однако слова «как бы» стоят здесь не случайно. Никаких новых сил взаимодействия между телами во вращающейся системе отсчета не возникает. На человека по-прежнему действует со стороны кресла та же сила реакции, имеющая ту же горизонтальную составляющую направленную к центру вращения. Но если в неподвижной системе сила создавала полное центростремительное ускорение то во вращающейся системе величина ускорения уменьшилась. Поэтому и пришлось ввести силу инерции частично компенсирующую силу

В нашем случае сила инерции складывается из двух сил, соответствующих двум слагаемым в выражении для Первое — это центробежная сила инерции Она тем больше, чем быстрее вращение и чем дальше отстоит тело от центра. Вторая сила называется кориолисовой силой (по имени французского ученого Кориолиса, впервые ее рассчитавшего). Такую силу приходится вводить только тогда, когда тело движется во вращающейся системе. Она не зависит от положения тела, но зависит от скорости его движения и от скорости вращения системы отсчета.

Если тело во вращающейся системе движется не по окружности, а, например, по радиусу (см. рис. 6.2), то оказывается, и в этом случае также необходимо ввести силу Кориолиса. Но направлена она будет не вдоль радиуса, а перпендикулярно ему. И вообще при любом движении во вращающейся системе кориолисова сила направлена перпендикулярно оси вращения и скорости тела. Удивительно, но факт: при движении во вращающейся системе сила инерции не только отбрасывает тело от центра, но и как бы толкает его вбок.

Подчеркнем, что происхождение силы Кориолиса такое же, как и всех сил инерции — эта сила не связана с непосредственным взаимодействием тел. Вот наглядный тому пример.

Представьте себе, что на полюсе установлена пушка, которая стреляет вдоль меридиана (полюс взят для простоты рассуждения). Цель находится на том же меридиане. Может ли снаряд попасть в цель? Если смотреть на стрельбу со стороны (пользоваться инерциальной системой отсчета, связанной с Солнцем), то ситуация ясная: траектория снаряда лежит в начальной меридиональной плоскости, а цель вместе с Землей поворачивается. Поэтому снаряд никогда не попадет в цель (разве что Земля успеет повернуться под ним на целое число суток) А как объяснить то же явление в системе отсчета, связанной с Землей? Как объяснить эффекты, обусловленные «уходом» цели из плоскости полета снаряда? Для этого и приходится вводить кориолисову силу, направленную перпендикулярно скорости тела и оси вращения. Тогда и в системе отсчета, связанной с Землей, становится понятным, почему снаряд выталкивается из меридиональной плоскости и не попадает в цель.

Точно так же объясняется поворот плоскости колебаний и маятника Фуко, о котором мы говорили в начале статьи. В инерциальной системе Солнца плоскость колебаний маятника остается неизменной, а Земля вращается. Поэтому относительно Земли плоскость колебаний поворачивается. (Проще всего опять представить себе, что маятник колеблется на полюсе; тогда плоскость колебаний совершит полный оборот как раз за сутки.) А вот в системе отсчета, связанной с Землей, это явление можно объяснить только с помощью силы Кориолиса.

Интересные следствия

Сила Кориолиса, возникающая вследствие вращения Земли, приводит к целому ряду весьма важных эффектов. Но прежде чем говорить о них, обсудим подробнее вопрос о направлении силы Кориолиса. Уже было сказано, что сила Кориолиса всегда перпендикулярна оси вращения и скорости тела. Но при таком определении остаются возможными два направления силы Кориолиса, показанные на рис. 6.4 а. Напомним, что аналогичная ситуация возникает при определении направления силы Лоренца, действующей на движущийся заряд со стороны магнитного поля. Как известно из школьного курса физики, эта сила перпендикулярна скорости заряда и индукции магнитного поля. Однако для того чтобы однозначно определить ее направление, надо воспользоваться правилом левой руки.

Рис. 6.3: Сила Кориолиса отклоняет пассаты к западу.

Направление кориолисовой силы также можно найти с помощью аналогичного правила. Его иллюстрирует рис. 6.4, б. Прежде всего выберем определенное направление оси вращения: если смотреть на вращающееся тело в этом направлении, вращение должно происходить по часовой стрелке. Теперь расположим левую руку так, чтобы направление вытянутых четырех пальцев совпадало с направлением скорости тела, а направление оси вращения пронизывало бы ладонь. Тогда отогнутый под углом 90° большой палец покажет направление силы Кориолиса.

Рис. 6.4: а — Два возможных направления силы Кориолиса. б, в — Направление силы Кориолиса определяется с помощью правила левой руки.

Две возможности определения направления силы Кориолиса или силы Лоренца соответствуют двум типам симметрии, встречающимся в природе; симметрии левого и правого. Каждый раз для того, чтобы указать тип симметрии, приходится обращаться к «эталону» — буравчику, руке и т.п. Конечно, в действительности природе нет никакого дела до вашей левой руки или буравчика. Просто таким образом можно сформулировать правила для нахождения направления силы.

Итак, мы подробно обсудили вопрос о силе Кориолиса для случая, когда скорость тела во вращающейся системе отсчета перпендикулярна оси вращения. При этом величина силы равна а направление определяется правилом левой руки. А как быть в общем случае?

Оказывается, если скорость тела составляет с осью вращения произвольный угол (рис. 6.4, в), то при нахождении силы Кориолиса надо учитывать только проекцию скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения. Тогда величина кориолисовой силы вычисляется по формуле

Направление этой силы определяется тем же правилом левой руки, но четыре вытянутых пальца нужно располагать не вдоль скорости тела, а вдоль перпендикулярной к оси вращения составляющей скорости, как показано на рис. 6.4 в.

Теперь нам все известно про силу Кориолиса: и как найти ее модуль, и как определить направление. Вооружившись этими знаниями, приступим к объяснению ряда интересных эффектов.

Рис. 6.5: Сила Кориолиса прижимает воду в реке к правому берегу в Северном полушарии и к левому — в южном.

Известно, например, что пассаты — ветры, дующие от тропиков к экватору, — всегда отклоняются к западу Рис. 6.3 объясняет этот эффект. Сначала убедитесь в том, что это действительно так, для северного полушария, где пассаты дуют с севера на юг. Расположите левую руку так, чтобы ось вращения Земли входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца направьте вдоль перпендикуляра к оси вращения. Вы увидите, что кориолисова сила направлена на вас перпендикулярно чертежу и, следовательно, на запад. В южном полушарии пассаты дуют, наоборот, с юга на север. Но ни направление оси вращения, ни направление перпендикуляра в ней не изменяются: следовательно, не изменяется и направление силы Кориолиса. Таким образом, эта сила в обоих случаях направлена к западу.

Рис. 6.5 иллюстрирует закон Бэра: у рек, текущих в северном полушарии, правый берег более крутой и подмытый, чем левый (в южном полушарии — наоборот). В этом случае действие кориолисовой силы приводит к тому, что вода прижимается к правому берегу. Из-за трения у поверхности скорость течения всегда больше, чем у дна; соответственно будет большей и сила Кориолиса. В результате возникает циркуляция воды, показанная стрелками на рис. 6.6, почва у правого берега подмывается, а у левого осаждается. Это явление аналогично размытию берега при повороте реки, о котором рассказывалось в главе 1 «Меандры рек». Чтобы в нем глубже разобраться, попробуйте оценить разность уровней воды на восточном и западном берегах реки Волги.

Рис. 6.6: У рек в северном полушарии правый берег более крутой и подмытый, чем левый.

Кориолисова сила приводит к отклонению падающих тел к востоку. (Объяснить этот эффект попробуйте сами.) В 1833 г. немецкий физик

Фердинанд Райх провел очень точные эксперименты в Фрейбургской шахте и получил, что при свободном падении тел с высоты их отклонение в среднем (по 106 опытам) составляет 28,3 мм. Это послужило одним из первых экспериментальных доказательств теории Кориолиса.

Оцените разность уровней воды у правого и левого берегов Волги.

Подумайте, как будет проявляться закон Бэра, если река течет вдоль параллели? Что произойдет, если река пересекает экватор? (Примером такой реки является Конго.)