Глава 20. Случай в поезде

Стрекот аэропланов! Беги автомобилей!

Ветропросвист экспрессов! Крылолет буеров!

Игорь Северянин,

Увертюра.

Как-то автору этих строк довелось возвращаться на железнодорожном экспрессе из Венеции в Неаполь. Поезд шел очень быстро (со скоростью около 150 км/ч), за окном мелькали пейзажи, будто сошедшие с полотен мастеров Возрождения. В полном согласии с их картинами местность была холмистая, и поезд то летел по мосту, то нырял в очередной туннель. В одном из особенно длинных туннелей вблизи Флоренции у нас неожиданно «заложило» уши, так, как это бывает при взлете или посадке у пассажиров самолета. Судя по внешним признакам, та же участь постигла и наших попутчиков — все в вагоне крутили головами, пытаясь избавиться от неприятного ощущения.

Когда же поезд наконец вырвался из тесного туннеля, оно прошло само собой, и лишь у одного из нас, не привыкшего к таким сюрпризам на железной дороге, остался вопрос о происхождении этого эффекта. Поскольку он явно был связан с перепадом давления, мы стали оживленно обсуждать возможные физические причины явления.

На первый взгляд, казалось очевидным, что при наличии поезда давление воздуха между стенками туннеля и обшивкой поезда должно повыситься, однако по мере того, как мы углублялись в задачу, это соображение казалось все менее и менее бесспорным. Вскоре у нас было готово объяснение, которое мы и хотим вам предложить.

Рассмотрим поезд с площадью поперечного сечения движущийся с постоянной скоростью внутри длинного туннеля с площадью поперечного сечения Сразу же перейдем в систему отсчета, связанную с поездом. Течение воздуха будем считать установившимся, а вязкостью воздуха пренебрежем. В этом случае движение стенок туннеля относительно поезда можно не учитывать — ввиду отсутствия вязкости оно не оказывает влияния на течение воздуха. Будем также считать поезд достаточно длинным, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами у переднего и заднего вагонов, а давление воздуха в туннеле будем считать установившимся и постоянным вблизи обшивки всего поезда.

Так мы, путем отказа от второстепенных деталей, перешли от реального движения поезда к упрощенной физической модели, которую уже можно попробовать описать математически (см. рис. 20.1). Итак. Имеется труба (бывший туннель), в которой соосно с ней покоится цилиндр (бывший поезд) с обтекаемыми концами. Сквозь трубу продувается воздух: вдали от поезда (сечение на рисунке) давление воздуха равно атмосферному, а скорость воздушного потока равна по величине и противоположна по направлению скорости, с которой до перехода в нашу систему отсчета двигался поезд. Рассмотрим некоторое сечение (на всякий случай подальше от концов поезда, чтобы наши предположения действительно выполнялись). Обозначим давление воздуха в этом сечении через а скорость потока воздуха через Эти величины можно связать с с помощью уравнения Бернулли:

где — плотность воздуха.

В уравнении (20.1) две неизвестные величины — и и, поэтому для определения необходимо еще одно соотношение. Его нам даст условие неизменности массы воздуха, протекающей через любое сечение в единицу времени (при течении в трубе масса не может ни возникать, ни исчезать):

(Об этом соотношении часто говорят как об условии непрерывности потока.)

Рис. 20.1: В туннеле воздух обтекает скоростной поезд, как в аэродинамической трубе.

Вы уже заметили, что мы записываем уравнение Бернулли в виде так называемого приближения несжимаемой жидкости. Это накладывает дополнительные ограничения, которые стоит обсудить подробнее. Можно ли считать плотность воздуха в уравнениях (20.1) и (20.2) постоянной? Вопрос непростой, и строгий ответ на него может быть дан только с помощью гораздо более сложного рассмотрения на основании общего уравнения Бернулли (называемого интегралом Бернулли), справедливого и для сжимаемой жидкости. Мы же приведем лишь наводящие физические соображения.

Чтобы можно было пренебречь сжимаемостью, должны выполняться два условия. Во-первых, интересующий нас скачок давления должен быть мал: Если скорость потока не слишком велика (что это означает, станет ясно позже) и мы пренебрегли вязкостью воздуха, то изменением температуры воздуха можно пренебречь. Тогда, согласно уравнению (20.4), плотность воздуха пропорциональна давлению Если давление меняется незначительно, то изменение плотности тоже мало: Впоследствии мы убедимся, что это действительно так.

Второе условие относится к скорости потока в разных частях туннеля. Нетрудно увидеть предел, где наше предположение о постоянстве плотности заведомо не выполняется: если скорость потока воздуха в каком-либо

из сечений трубы становится сравнимой со среднеквадратичной скоростью теплового движения молекул, то тут уже ни о каком постоянстве в различных сечениях говорить не приходится. Действительно, ведь именно эта скорость определяет характерное время установления средней плотности газа в макроскопическом объеме, поэтому при столь высоких скоростях потока она, плотность, просто не будет успевать устанавливаться при переходе от одного сечения к другому. Однако, как мы увидим ниже, это ограничение может оказаться недостаточным. А пока будем считать плотность постоянной.

Избавляясь с помощью (20.2) от скорости и в (20.1), находим давление воздуха в туннеле:

Плотность воздуха может быть найдена из уравнения Менделеева — Клапейрона, примененного вдали от поезда (мы уже делали это в главе 12, см. уравнение

где — молекулярная масса воздуха, Т — его абсолютная температура и — универсальная газовая постоянная. Подставляя это соотношение в (20.3), получаем

Входящая в это выражение комбинация параметров очевидно, безразмерна. Следовательно, величина имеет размерность скорости. В ней, с точностью до коэффициента, можно сразу же усмотреть среднеквадратичную скорость теплового движения молекул. Однако при анализе рассматриваемой аэродинамической задачи для нас будет важна другая характеристика газа — скорость распространения в нем звука, которую авторам уже давно хочется ввести. Она, как и скорость теплового движения молекул, определяется температурой и молекулярной массой газа, и численное значение скорости звука зависит еще от так называемого показателя адиабаты 7 — характерного для каждого газа числа порядка 1 (для воздуха

При нормальных условиях (т.е. примерно 1200 км/ч). Используя определение (20.6), мы можем переписать выражение (20.5) для давления в удобном для дальнейшего обсуждения виде (подставив ):

Теперь пришло время остановиться и подумать. Мы вычислили давление вблизи обшивки поезда внутри туннеля. Однако наши уши заболели не от самого давления, а от его изменения при входе поезда в туннель по сравнению с давлением вблизи обшивки поезда при его движении по свободному пространству. Перепад давления мы можем сразу же определить с помощью выражения (20.7), заметив, что открытое пространство — это то же, что туннель бесконечного радиуса, - Поэтому

что, впрочем, было очевидно и без вычислений.

Вычисления показывают, что относительное изменение давления отрицательно:

Таким образом, как видно из (20.8), при входе в туннель давление вблизи обшивки движущегося поезда понижается (а не повышается, как нам показалось вначале).

Давайте оценим величину найденного эффекта. Для узкого (двухколейного) железнодорожного туннеля можно принять, что Величины уже приводились выше. Таким образом, находим, что

Как мы и ожидали, изменение давления оказалось малым, и следовательно, сделанное выше предположение подтвердилось — изменением плотности воздуха действительно можно было пренебречь. Однако такая малость относительной величины изменения давления не означает, что человеческий организм не в состоянии ее почувствовать. Действительно, если мы вспомним, что и примем площадь нашей барабанной перепонки за то избыточная сила давления, действующая на нее изнутри, составит , что уже вполне заметно.

Казалось бы, эффект объяснен и можно ставить точку. Однако что-то беспокойло нас в полученной формуле. И мы быстро обнаружили, что именно: из выражения (20.8) следует, что даже при нормальном для обычных поездов соотношении (эта комбинация скоростей постоянно встречается в аэродинамике и носит название числа Маха) в очень узком туннеле, когда величина может стать порядка и даже превысить эту величину! Ясно, что в этом случае мы выходим за рамки ограничений, сделанных выше. Но где именно? Ведь, казалось бы, соотношение весьма надежно защищает нас от неожиданностей. Попробуем разобраться.

Пусть вычисленное по формуле (20.8), действительно, оказывается порядка Это означает, что

и следовательно,

Сравнивая последнее равенство с условием непрерывности (20.2), мы видим, что произошло: становится порядка когда скорость протекания потока воздуха между обшивкой поезда и стенками туннеля оказывается порядка скорости звука, а в этом случае, как мы уже говорили, все наше рассмотрение оказывается неприменимым. Следовательно, условием применимости выражения (20.8) является не только условие но и более жесткое:

Для реальных поездов и туннелей оно, очевидно, выполняется всегда. Тем не менее наше исследование пределов применимости полученной формулы не следует рассматривать как простое математическое упражнение. Во-первых, физик должен всегда четко представлять «рабочую область» полученного им результата. Вторая причина, в данном случае, вполне практическая. Дело в том, что в последние десятилетия все чаще обсуждаются

возможности создания принципиально новых видов транспорта, в том числе и на основе железнодорожного. Так, уже много лет назад была предложена идея поезда, движущегося на сверхпроводящей магнитной подушке. Это вагончик, внутри которого имеется мощный сверхпроводящий магнит. Благодаря создаваемому им магнитному полю, вагончик зависает над металлическим рельсом, и сопротивление движению определяется только аэродинамическими свойствами такого вагона. В Японии уже создана действующая модель этого вида транспорта. Экспериментальный образец перевозит 20 пассажиров вдоль линии длиной в 7 километров, развивая при этом максимальную скорость 516 км/ч! А ведь это уже почти половина скорости звука.

Следующим шагом на пути развития этого вида транспорта стала идея... заключить вагончик в герметическую трубу и создать там пониженное давление! Вот тут - то, как вы уже, наверное, сообразили, конструкторы и сталкиваются с рассмотренной нами задачей о поезде в туннеле, но в гораздо более сложном случае, когда Движение разреженного воздуха здесь уже турбулентно, температура воздуха заметно меняется, и сегодня наука еще не знает ответов на многие вопросы, возникающие при решении подобных задач. Сделанная нами оценка позволяет вам понять некоторые из тех трудностей, которые встречаются на пути ученых.

В заключение предлагаем подумать над другими физическими вопросами, которые могут возникнуть при поездке в поезде.

Почему шум от движущегося поезда резко возрастает, когда поезд въезжает в туннель?

Почему при встрече двух быстро движущихся навстречу друг другу поездов их окна испытывают удар? Куда направлена сила, действующая при этом на стекла, — наружу или внутрь вагона?