Глава 10. Пузырь и капля

Пуская из тростинки пузыри

И видя, как взлетающая пена

Вдруг расцветает пламенем зари,

Малыш на них глядит самозабвенно.

Старик, студент, малыш — любой творит

Из пены майи дивные виденья,

По существу лишенные значенья.

Но через них нам вечный путь открыт,

А он, открывшись, радостней горит.

Герман Гессе

Игра в бисер

Удивительно разнообразны проявления поверхностного натяжения жидкости в природе и технике. Оно собирает воду в капли, благодаря ему мы можем выдуть мыльный пузырь и писать ручкой. Поверхностное натяжение играет важную роль в физиологии нашего организма. Его используют и в космической технике. Почему же поверхность жидкости ведет себя подобно растянутой упругой пленке?

Молекулы, расположенные в тонком слое жидкости вблизи поверхности, находятся в особых условиях. Они имеют одинаковых с ними соседей только с одной стороны поверхности, в отличие от молекул внутри жидкости, окруженных всех сторон такими же молекулами. Поскольку взаимодействие молекул на не слишком малых расстояниях носит характер притяжения, то потенциальная энергия каждой из молекул отрицательна. По абсолютной же величине, в первом приближении, ее можно считать

пропорциональной числу ближайших соседей. Поэтому ясно, что у молекул, находящихся в поверхностном слое (число соседей для которых меньше, чем в объеме), потенциальная энергия выше, чем у молекул внутри жидкости. Еще одним фактором увеличения потенциальной энергии молекул в поверхностном слое является то, что по мере приближения к поверхности из глубины жидкости концентрация молекул падает.

Разумеется, молекулы жидкости находятся в непрерывном тепловом движении — одни молекулы уходят с поверхности, другие, наоборот, попадают на нее. Но можно говорить о средней добавочной потенциальной энергии поверхностного слоя жидкости.

Приведенные соображения показывают, что, для того чтобы извлечь молекулу на поверхность, сторонним силам необходимо совершить некоторую положительную работу. Избыток потенциальной энергии молекул, находящихся на участке поверхности единичной площади, по сравнению с потенциальной энергией, которой обладали бы эти же молекулы в толще жидкости, называется коэффициентом поверхностного натяжения и является численной характеристикой этой работы.

Известно, что из всех возможных состояний системы устойчивым является то, в котором ее энергия минимальна. В частности, поверхность жидкости стремится принять такую форму, при которой ее поверхностная энергия в заданных условиях будет минимальна. Именно поэтому жидкость и обладает поверхностным натяжением, стремящимся сократить, уменьшить ее поверхность.

Мыльные пузыри

«Выдуйте мыльный пузырь и смотрите на него: вы можете заниматься всю жизнь его изучением, не переставая извлекать из него уроки физики», — писал великий английский физик лорд Кельвин. В частности, мыльная пленка является прекрасным объектом для изучения поверхностного натяжения. Сила тяжести здесь практически роли не играет, так как мыльные пленки чрезвычайно тонки и их масса совершенно ничтожна. Поэтому основную роль играют силы поверхностного натяжения, благодаря которым форма пленки всегда оказывается такой, что ее площадь — минимально возможная в данных условиях.

Однако почему пленки обязательно мыльные? Почему бы не изучать пленку из дистиллированной воды, ведь ее коэффициент поверхностного натяжения в несколько раз превышает коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора.

Дело, оказывается, вовсе не в величине коэффициента поверхностного натяжения, а в структуре мыльной пленки. Мыло богато так называемыми поверхностно - активными веществами, концы длинных молекул которых по-разному относятся к воде: один конец охотно соединяется с молекулой воды, другой к воде безразличен. Поэтому мыльная пленка обладает сложной структурой: образующий ее мыльный раствор как бы «армирован» частоколом упорядоченно расположенных молекул поверхностноактивного вещества, входящего в состав мыла (рис. 10.1).

Рис. 10.1: Устойчивость мыльной пленки обеспечивается присутствием поверхностно - активных органических молекул.

Вернемся к мыльным пузырям. Наверное, каждому доводилось не только наблюдать эти удивительно красивые творения, но и пускать их. Они сферичны по форме и долго могут свободно парить в воздухе. Давление внутри пузыря оказывается больше атмосферного. Избыточное давление обусловлено тем обстоятельством, что мыльная пленка, стремясь еще больше уменьшить свою поверхность, сдавливает воздух внутри пузыря, причем чем меньше его радиус тем большим оказывается избыточное давление внутри пузыря. Определим величину этого избыточного давления

Поставим мысленный опыт. Пусть поверхностное натяжение пленки пузыря чуть-чуть ослабело, в результате чего радиус увеличился на величину (рис. 10.2). При этом его внешняя поверхность возрастает на

— поверхность сферы), а следовательно, увеличивается и поверхностная энергия пузыря:

(поскольку уже пропорционально малой величине изменением коэффициента поверхностного натяжения здесь можно пренебречь).

Рис. 10.2: Бесконечно - малое расширение мыльного пузыря.

Заметьте, что в выражении (10.1) появилась двойка, которой нет в определении поверхностной энергии. Ею мы учли факт, что у мыльного пузыря имеется две поверхности — внешняя и внутренняя; при увеличении его радиуса на площадь каждой из них возрастает на

Увеличение поверхностной энергии пузыря произошло за счет работы сжатого в нем воздуха. Считая, что давление в нем при столь малом изменении объема не меняется, можем записать

Изменение объема пузыря определяется объемом тонкостенной сферы (рис. 10.2):

откуда для находим

Сравнивая это выражение с найденной ранее формулой (10.1), получаем, что обусловленное поверхностным натяжением избыточное давление внутри сферического мыльного пузыря равно

Через мы обозначили удвоенный коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Понятно, что если бы речь шла об избыточном давлении под одинарной искривленной поверхностью (например, внутри сферической капли жидкости), то оно определялось бы выражением

соотношение называется формулой Лапласа). Входящая в это выражение величина, обратная радиусу сферы, называется кривизной сферы:

Итак, мы пришли к важному заключению о том, что избыточное давление пропорционально кривизне сферы. Однако сфера — не единственная форма, которую можно придать мыльному пузырю. Если поместить пузырь между двумя кольцами, то его можно растягивать, пока он не примет форму цилиндра со сферическими «шапками» (рис. 10.3).

Рис. 10.3: С помощью проволочных колец можно попробовать придать пузырю форму цилиндра.

Чему равно избыточное давление внутри такого пузыря? У цилиндрической поверхности кривизна в различных направлениях различна. Вдоль образующей цилиндра кривизна равна нулю (образующая — прямая линия), а в сечении, перпендикулярном оси цилиндра, его кривизна равна где — радиус цилиндра. Какое же значение мы должны подставить в предыдущую формулу? Оказывается, разность давлений по разные стороны любой поверхности определяется ее средней кривизной. Что же это за величина?

Проведем через нормаль к поверхности в точке А плоскости. Сечения цилиндрической поверхности этими плоскостями (они называются нормальными сечениями) могут быть окружностью, эллипсом или прямой (рис. 10.4). Легко видеть, что кривизны этих сечений в точке А различны: максимальной кривизной обладает поперечное сечение — окружность,

а минимальной, равной нулю, — прямая (продольное сечение). Средняя кривизна определяется как полусумма максимальной и минимальной кривизны нормальных сечений:

Рис. 10.4: Разные сечения цилиндра отличаются по кривизне.

Это определение годится не только для цилиндра; так можно определять среднюю кривизну в данной точке любой поверхности.

У цилиндрической поверхности в любой точке максимальная кривизна Ртах где — радиус поперечного сечения цилиндра, Поэтому средняя кривизна цилиндра а избыточное давление внутри цилиндрического пузыря

Как видно, у цилиндрического пузыря избыточное давление такое же, как у сферического пузыря вдвое большего радиуса. Поэтому радиус

сферических «шапок» у цилиндрического пузыря будет вдвое больше, чем радиус цилиндра, и они являются сферическими сегментами, а не полусферами.

А что если вообще уничтожить избыточное давление в таком пузыре, заставив, например, лопнуть «шапки»? Казалось бы, так как внутри пузыря нет никакого избыточного давления, поверхность его не должна иметь кривизны. А тем не менее стенки пузыря изгибаются внутрь, и пузырь принимает форму катеноида (от латинского слова «катена» — цепь; эту поверхность можно получить вращением вокруг оси кривой, имеющей форму подвешенной горизонтально за концы цепи — цепной линии). В чем же тут дело?

Рис. 10.5: Под действием сил натяжения пленка принимает форму катеноида. Такая поверхность имеет нулевую среднюю кривизну.

Присмотритесь к этой поверхности (рис. 10.5). Обратите внимание на ее узкое место — перехват. Легко видеть, что этот перехват является одновременно и выпуклым, и вогнутым. Его поперечное сечение — окружность, а продольное — цепная линия. Кривизна, направленная внутрь, должна увеличивать давление внутри пузыря, кривизна же, направленная наружу, должна уменьшать его. (Давление под вогнутой поверхностью больше, чем над ней.) В случае катеноида эти кривизны одинаковы по величине, и так как направлены они в противоположные стороны, средняя кривизна равна нулю. Следовательно, внутри такого пузыря нет избыточного давления.

Существует множество других поверхностей, которые кажутся кривыми во всех направлениях, но тем не менее их средняя кривизна равна нулю, и эти поверхности не производят никакого давления. Чтобы получить их, достаточно взять любую гнутую проволочную рамку и погрузить ее в мыльную воду. Вынимая рамку, можно увидеть разнообразные поверхности с нулевой средней кривизной, форма которых зависит от формы

рамки. Однако катеноид — единственная, кроме плоскости, поверхность вращения с нулевой средней кривизной.

Одной из задач специальной математической науки — дифференциальной геометрии — является отыскание таких поверхностей с нулевой средней кривизной, натянутых на замкнутые пространственные кривые. Существует точная математическая теорема, утверждающая, что площадь таких поверхностей среди прочих поверхностей, натянутых на ту же кривую, всегда минимальна, и она нам покажется теперь очевидной.

Мыльные пузыри могут соединяться друг с другом, образуя пену. Несмотря на кажущуюся хаотичность в расположении мыльных пленок в пене, всегда выполняется такой закон: пленки пересекают друг друга лишь под равными углами (см. рис. 10.6).

Рис. 10.6: Глядя на сечение мыльной пены, можно заметить, что стенки пузырей образуют равные угпы.

Рассмотрим, например, два пузыря, находящихся в контакте друг с другом и имеющих общую перегородку (рис. 10.7). Избыточные (по сравнению с атмосферным) давления внутри пузырей различны и определяются формулой Лапласа:

Поэтому перегородка должна быть такой, чтобы создавать дополнительное давление внутри пузырей. Следовательно, она должна обладать определенной кривизной. Радиус кривизны перегородки определяется из соотношения

то есть

Рис. 10.7: Угол между касательными к поверхностям слипшихся мыльных пузырей равен

На рис. 10.7 изображен разрез пузырей в плоскости, проходящей через их центры. Точки А и В представляют собой точки пересечения с плоскостью чертежа окружности, по которой соприкасаются два пузыря. В любой точке этой окружности встречаются три пленки. Так как поверхностное натяжение пленок одинаково, то силы их поверхностного натяжения могут «уравновесить» друг друга лишь в том случае, когда углы, под которыми они пересекаются, равны между собой, и следовательно, каждый равен 120°.

Какие бывают капли

Сложнее обстоит дело с формой капель. Стремлению поверхностного натяжения уменьшить поверхность жидкости здесь обычно противодействуют другие силы. Например, капля жидкости почти никогда не является шаром, хотя шар имеет наименьшую из всех фигур поверхность при заданном объеме. Когда капля покоится на неподвижной горизонтальной поверхности, она оказывается сплющенной. Сложную форму имеет и падающая в воздухе капля. И только капля, находящаяся в невесомости, принимает совершенную сферическую форму.

Устранить действие силы тяжести при изучении поверхностного натяжения жидкостей впервые догадался в середине прошлого века бельгийский ученый Ж. Плато. Разумеется, в то время и не мечтали о настоящей

невесомости, и Плато просто предложил уравновесить силу тяжести архимедовой выталкивающей силой. Он поместил исследуемую жидкость (масло) в раствор, обладающий такой же плотностью, и, как пишет его биограф, «с удивлением увидел, что масло приняло сферическую форму; он тотчас же применил свое правило «вовремя удивляться», и это явление послужило затем для него предметом долгих размышлений».

Свой метод Плато применил для исследования различных явлений. Например, он изучил процесс образования и отрыва капли жидкости на конце трубки.

Обычно, как бы медленно мы ни увеличивали каплю, она отрывается от трубки так быстро, что глаз не может уследить за деталями этого процесса. Плато помещал конец трубки в жидкость, плотность которой была только немного меньше плотности капли. Действие силы тяжести при этом ослаблено, поэтому можно вырастить очень большую каплю и увидеть, как она отрывается от трубки.

Рис. 10.8: Кадры скоростной киносъемки процесса отрыва капли.

На рис. 10.8 показаны различные стадии красивого процесса образования и отрыва капли (фотографии получены современным методом — с помощью скоростной киносъемки). Попробуем объяснить это явление. Пока капля растет медленно, можно считать, что в каждый момент времени она находится в равновесии. Тогда при заданном объеме капли ее форма определяется из условия, что сумма поверхностной энергии и потенциальной энергии капли, обусловленной силой тяжести, минимальна. Поверхностное натяжение вызывает сокращение поверхности капли, оно стремится придать капле сферическую форму. Сила тяжести, наоборот, стремится расположить центр масс капли как можно ниже. В результате капля оказывается вытянутой.

Чем больше капля, тем большую роль играет потенциальная энергия силы тяжести. Основная масса по мере роста капли собирается внизу, и у капли образуется шейка (вторая фотография на рис. 10.8). Сила поверхностного натяжения направлена вертикально по касательной к шейке. Она уравновешивает силу тяжести, действующую на каплю. Теперь достаточно капле совсем немного увеличиться, и силы поверхностного натяжения уже не смогут уравновесить силу тяжести. Шейка капли быстро сужается (третья фотография на рис. 10.8), и в результате капля отрывается (четвертая фотография). При этом от шейки отделяется маленькая капелька, которая падает вслед за большой. Вторичная капелька образуется всегда (ее называют шариком Плато), но так как процесс отрыва капли очень быстрый, обычно мы этой вторичной капельки не замечаем.

Мы не будем здесь вдаваться в причины образования маленькой капельки — это довольно тонкий вопрос. Но попробуем объяснить форму падающей капли. Мгновенные фотографии падающих капель показывают, что маленькие капли почти сферические, а большие похожи на сдобную булочку. Давайте прежде всего оценим радиус капли, при котором она теряет свою сферичность.

При равномерном движении капли сила тяжести, действующая, например, на центральный столбик капли АВ (рис. 10.9), должна быть уравновешена силами поверхностного натяжения. А для этого необходимо, чтобы радиусы кривизны капли в точках А и В были разными. Действительно, поверхностное натяжение создает избыточное давление, определяемое формулой Лапласа: и если кривизна поверхности капли в точке А будет большей, чем в точке В, то разность лапласовских давлений сможет уравновесить гидростатическое давление жидкости:

Существенно ли различие Для маленьких капель радиусом порядка 1 мкм величина а величина ! В этом случае гидростатическое давление настолько мало, по сравнению с лапласовским, что им и вовсе можно пренебречь. Такая капля может считаться эталоном сферичности.

Иное дело для капли диаметром, скажем, 4 мм. Для нее гидростатическое давление , а лапласовское . Эти величины одного порядка, и нарушения сферичности для такой капли более существенны. Полагая мм, найдем, что Разность радиусов кривизны

в точках А и В в этом случае оказывается уже порядка самого размера капли.

Рис. 10.9: Из-за гидростатического давления поверхность капли имеет различную кривизну в точках А и В.

Наш расчет показывает, для каких капель можно ожидать нарушения сферичности, но форма падающей капли получается обратной наблюдаемой в эксперименте (на фотографии капли сплющены снизу). В чем же дело? А в том, что мы считаем давление воздуха над каплей и под ней одинаковым. При медленном движении капли так и бывает. Но если капля движется в воздухе с достаточно большой скоростью, то воздух не успевает плавно обтекать каплю: перед нею создается область повышенного давления, а за нею — пониженного (там образуются вихри). Разность давлений воздуха может быть больше, чем гидростатическое давление, и лапласовское давление теперь должно скомпенсировать именно эту разность. В таком случае величина давления становится отрицательной и, следовательно, радиус будет больше, чем Об этом и свидетельствуют фотографии.

А видели вы когда-нибудь очень большие капли? В обычных условиях таких капель нет. И это не случайно — капли большого диаметра неустойчивы и разрываются на маленькие. Сохранность формы капли на несмачиваемой поверхности обеспечивает поверхностное натяжение. Однако когда гидростатическое давление становится больше лапласовского, капля растекается и дробится на более мелкие. Оценить предельно возможный размер капли позволяет неравенство где Отсюда получаем

Для воды, например, (разумеется, это лишь порядковая оценка максимального размера капли). Вот почему вы не увидите на листьях деревьев и других поверхностях, не смачиваемых водой, слишком крупных капель.

Может ли случиться, что вдоль прямой линии, образуя прямые углы, соединятся четыре мыльные пленки?