Глава 18. Следы на песке

Изо всех двухсот миллиардов мужчин, женщин и детей, которые когда-либо прошли по влажному песку с сотворения мира до собрания Британской Ассоциации в Абердине в 1885 г., сколько найдется таких, которые на вопрос «Сжался ли песок под вашей ногой?» ответили бы иначе, чем «да»!

Лорд Кельвин Балтиморские лекции, 1904 г.

А задумывались ли вы над ответом на этот вопрос? На первый взгляд кажется, что, утрамбовывая песок, мы всегда делаем его более плотным, заставляем песчинки теснее прижиматься друг к другу. Но в действительности дело может обстоять иначе. И доказательство этому — следы, которые остаются на некоторое время сухими, когда ступаешь по мокрому песку у берега моря или реки. Вот что говорил по этому поводу О. Рейнольдс — ученый, известный своими работами по гидродинамике, в докладе на собрании Британской Ассоциации в 1885 г.: «Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становится сухим... Надавливание ноги разрыхляет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды уходит... Оно делает песок сухим до тех пор, пока снизу не прибудет достаточное количество воды».

Так почему же в результате надавливания увеличивается пространство между песчинками, и имеющейся воды уже недостаточно, чтобы заполнить его? Этот вопрос не случайно волновал ученых XIX века. Ответ на него

имеет самое прямое отношение к атомному строению вещества. Давайте и мы попробуем разобраться в этом вопросе.

Плотная упаковка шаров

Можно ли заполнить твердыми шарами все пространство? Разумеется, нет — между ними всегда остаются свободные промежутки. Доля пространства, занимаемая шарами, называется плотностью их упаковки. Чем теснее расположены шары, чем меньше свободного места между ними, тем больше плотность упаковки. Когда же достигается максимальная плотность упаковки одинаковых твердых шаров? Ответ на этот вопрос дает ключ к разгадке «тайны» следов на песке.

Исследуем вначале более простой случай — упаковки одинаковых кругов на плоскости. Плотной упаковки кругов можно достичь, вписывая их в мозаики, составленные из правильных многоугольников, заполняющих всю плоскость. Существуют только три способа построения таких мозаик — из правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Упаковки кругов с использованием квадратной и шестиугольной мозаик показаны на рис. 18.1. Даже «на глаз» видно, что второй способ (б) более экономичен. Точный расчет (вы вполне сможете провести его сами) показывает, что в этом случае кругами заполнено 90,7 % плоскости, в то время как в первом случае (а) — только около 78 %. Шестиугольный способ упаковки на плоскости — самый плотный. По-видимому, из-за этого его и используют пчелы при построении сот.

Плотную упаковку шаров в пространстве можно осуществить следующим образом. Расположим на плоскости первый слой шаров уже известным нам наиболее плотным способом. Затем можно положить на них второй точно такой же слой. Если располагать каждый шар верхнего слоя в точности над нижним, так что все шары окажутся вписанными в кубические соты, то слишком много пространства окажется неиспользованным. При таком способе укладки шаров заполняется только 52 % пространства.

Ясно, как можно упаковать шары плотнее. Для этого верхний шар надо располагать в лунке, образованной тремя соседними нижними шарами. Но при этом верхние шары не смогут заполнить все лунки — одно из двух соседних углублений всегда остается свободным (рис. 18.2).

Рис. 18.1: Упаковка равных кругов на плоскости в ячейки правильных мозаик.

Поэтому, когда мы укладываем третий слой шаров, сделать это можно будет двумя способами: либо расположить шары третьего слоя над теми углублениями в первом слое, которые шары второго слоя оставили свободными (центр одного из шаров на рис. 18.2, б будет находиться в точке А), либо — как раз над шарами первого слоя (при этом центр одного из шаров третьего слоя окажется в точке В). Для последующих слоев порядок расположения шаров сохраняется. В результате получаем два способа плотной упаковки шаров, показанные в пространстве на рис. 18.3. В обоих случаях шарами заполнено около 74 % пространства.

Легко подсчитать, что при таком способе упаковки каждый шар соприкасается с 12 соседними шарами. Точки соприкосновения образуют вершины четырнадцатигранника. Его грани — чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники. Так, при втором способе плотной упаковки (рис. 18.3, 6) получается кубоктаэдр, показанный на рис. 18.4.

До сих пор мы рассматривали лишь такие способы упаковки шаров, при которых они вписываются в периодические «соты». А можно ли достичь плотной упаковки, отказавшись от этого условия? Один из способов показан на рис. 18.5. Шары в каждой плоскости расположены по сторонам правильных пятиугольников (пентагонов).

Рис. 18.2: Плотная упаковка шаров в пространстве (штрихами показан нижний слой.)

В каждом пентагоне соседние шары касаются друг друга, но шары, относящиеся к разным пентагонам одной плоскости разделены в пространстве. Стороны пентагонов чередующихся слоев попеременно содержат четное и нечетное число шаров. Коэффициент заполнения пространства в такой структуре равен и лишь немного уступает случаю плотной упаковки, показанному на рис. 18.2. Можно упаковывать шары, не образуя из центров решетку, более плотно, достигнув коэффициента заполнения однако существуют ли еще более плотные упаковки — этот вопрос остается открытым до сих пор.

Вернемся к следам на песке. Мы теперь знаем, что существуют особые упаковки шаров, при которых остается очень мало пустого пространства между ними. Если нарушить такое расположение, выведя, например, шары одного слоя из лунок другого слоя, то промежутки между шарами увеличатся. Ясно, однако, что песчинки никто не упаковывает специальным образом. Как же достичь плотной упаковки песчинок?

Вспомним житейский опыт. Вам надо заполнить сосуд крупой так, чтобы в него вместилось максимальное ее количество. Что вы при этом делаете? Потряхиваете сосуд или постукиваете по нему, добиваясь желаемого эффекта. Даже после плотной утрамбовки крупы в сосуде можно с помощью такого приема уместить еще какое-то дополнительное ее количество.

Рис. 18.3: Пространственная картина, показывающая два способа плотной упаковки шаров.

Рис. 18.4: Кубоктаэдр Кеплера.

Научное исследование этого вопроса предпринял в 50-х годах английский ученый Г. Скотт. Он заполнял шариками от подшипников сферическиебутылки разных размеров. Если заполнять бутылки без потряхивания так, чтобы шарики располагались случайным образом, экспериментально наблюдается следующая зависимость плотности упаковки от числа шариков:

где — полное число шариков. Если число шариков очень велико (а в опытах достигало нескольких тысяч), то видно, что плотность упаковки стремится стать постоянной и соответствующей заполнению пространства. А вот если потряхивать бутылку по мере ее заполнения, плотность упаковки возрастает:

Рис. 18.5: Пентагональная упаковка шаров.

Правда, и в этом случае она получается гораздо меньшей соответствующих регулярному расположению шариков.

Стоит задуматься над приведенными здесь экспериментами. Почему поправка обратно пропорциональна Шарики, расположенные у стенок сосуда, находятся в особом положении по сравнению с шариками в объеме и влияют на плотность упаковки. Величина их вклада пропорциональна отношению площади поверхности к объему сосуда и убывает обратно пропорционально размеру системы Под объемом системы мы понимаем полный объем пространства, занимаемого шариками вместе со свободными промежутками. Размер так как объем системы пропорционален полному числу шариков. Такие зависимости часто возникают в физике, когда надо учитывать поверхностные эффекты.

Таким образом, точные эксперименты подтверждают житейский опыт и показывают, что, потряхивая зернистую среду, можно достичь большей плотности упаковки. Но почему же все-таки это происходит? Дело в том, что устойчивому положению равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии. Шарик может устойчиво лежать в ложбинке, но с вершины горки он обязательно скатится. Нечто подобное происходит и здесь. Шарики при потряхивании скатываются в свободные промежутки, плотность упаковки увеличивается, а общий объем системы уменьшается. В результате понижается уровень заполнения сосуда шариками, а следовательно, опускается центр масс и уменьшается потенциальная энергия системы.

Теперь, наконец, можно с достаточной ясностью представить себе, что происходит с песком. Движение воды встряхивает песок, и в результате достигается плотная упаковка песчинок. Сдавливая песок ногой, мы

нарушаем эту упаковку и увеличиваем размер пор. Вода из верхних слоев песка уходит вглубь, заполняя эти увеличившиеся промежутки. В результате песок «высыхает». Когда ногу убирают, деформация исчезает, плотная упаковка восстанавливается, а вытесненная из вновь уменьшившихся промежутков вода заполняет след, оставленный ногой. Может случиться и так, что после сильного нажатия плотная упаковка не восстанавливается. Тогда след станет снова мокрым, лишь когда вода поднимется из нижних слоев и заполнит увеличившиеся поры.

Любопытно, что это свойство сыпучих сред знали еще индийские факиры. Один из трюков состоял в том, что в сосуд с узким горлышком, доверху наполненный рисом, многократно втыкали длинный узкий нож. В какой-то момент нож застревал в рисе, и можно было, потянув нож, поднять сосуд с рисом.

Очевидно, секрет состоял в том, что при втыкании ножа упаковка рисовых зерен уплотнялась так же, как при встряхивании. Этот процесс можно представить себе, как распространение в рыхлой среде своего рода волны сжатия. Вначале рис уплотнялся непосредственно вблизи от лезвия, а в объеме и рядом со стенками по-прежнему лежал относительно свободно. Граница раздела рыхлой и плотной укладок играла роль (довольно пологого) «фронта волны». С каждым новым ударом клинка фронт расширялся и наконец достигал стенок, то есть весь рис в сосуде оказывался плотно упакован. В этот момент свойства сыпучей среды коренным образом менялись: рис становился «несжимаемым», дальше уплотнять было некуда. Вот тут - то кинжал и застревал, ибо резко, возрастали силы, сдавливающие рисинки. Вследствие этого трение между ними и лезвием повышалось и оказывалось достаточным, чтобы помешать вытянуть его из риса.

Если вы решите развлечь подобным фокусом своих гостей, то во избежание неожиданностей не стоит насыпать рис в стеклянную колбу или фарфоровую вазу.

Дальний и ближний порядок

Атомы, из которых состоят все тела, конечно, нельзя считать твердыми шарами. И тем не менее простые геометрические соображения помогают разобраться в строении вещества.

Впервые геометрический подход использовал еще в 1611 г. немецкий

ученый И. Кеплер, высказавший предположение о связи шестиугольной формы снежинок с плотнейшими способами упаковки шаров. М. В. Ломоносов дал в 1760 г. первое изображение плотнейшей кубической шаровой упаковки и объяснил таким образом форму кристаллических многогранников. А французский аббат Р.-Ж. Гаюи в заметил, что любой кристалл можно составить из множества повторенных частей (рис. 18.6). Правильную геометрическую форму кристаллов он объяснил тем, что кристаллы построены из одинаковых маленьких «кирпичиков». Наконец, в немецкий ученый А. Зибер предложил модель кристалла из регулярно расположенных маленьких сфер, взаимодействующих подобно атомам. Плотная упаковка таких сфер соответствует минимуму потенциальной энергии их взаимодействия.

Рис. 18.6: Рисунки из атласа P. Ж. Гаюи, изданного в начале XIX-го века.

Описанием структуры кристаллов занимается специальная наука — кристаллография. В наше время периодическое расположение атомов в кристаллах — твердо установленный факт. Электронные микроскопы

позволяют нам просто увидеть это своими глазами. Тенденция к плотной упаковке несомненно имеется в атомном мире. Около 35 химических элементов кристаллизуются таким образом, что их атомы располагаются в пространстве подобно шарам, показанным на рис. 18.3. Центры атомов (а точнее, атомные ядра) образуют в пространстве так называемую кристаллическую решетку, которая состоит из повторяющихся частей. Простейшие решетки, которые можно составить периодическим сдвигом в пространстве только одного атома, называются решетками Браве (по имени французского морского офицера О. Браве, впервые построившего в XIX веке теорию пространственных решеток).

Решеток Браве существует не так много — всего 14 разных типов. Это связано с тем, что далеко не все элементы симметрии могут встречаться в периодических решетках. Отдельный правильный пятиугольник можно, например, поворачивать вокруг оси, проходящей через центр, и он при этом 5 раз совместится сам с собой. В таком случае говорят, что имеется ось симметрии 5-го порядка. Но в решетке Браве такой оси быть не может. Это означало бы, что имеется плоскость, усеянная узлами, образующими правильные пятиугольники. А целиком заполнить плоскость правильными пятиугольниками невозможно (рис. 18.7)!

Рис. 18.7: С помощью пятиугольников невозможно заполнить всю плоскость без просветов.

Итак, любой кристалл можно составить из повторяющихся частей. Это свойство кристаллов называют трансляционной симметрией (трансляция — перенос в пространстве). Иначе еще говорят, что в кристаллах имеется дальний порядок. Это, пожалуй, самое характерное свойство кристаллов, которое отличает их от всех других тел.

Есть, однако, не менее важный класс веществ — аморфные тела, в которых дальнего порядка нет. В аморфном состоянии находятся жидкости. Но и твердое тело может быть аморфным. Самый простой пример — обычное стекло. На рис. 18.8 показано строение стекла и кварца, который имеет тот же химический состав, что и стекло. Кварц — кристалл, а стекло — аморфное тело. Хотя дальнего порядка в стекле явно нет, это, однако, не означает, что в расположении атомов царит полный хаос. Определенная структура в расположении ближайших соседей, как видно из рисунка, сохраняется и в стекле. Говорят, что в аморфных телах имеется ближний порядок.

Рис. 18.8: Строение кварца (а) и стекла (а).

Аморфные материалы нашли в последнее время важные применения в технике. Уникальными свойствами обладают аморфные металлические сплавы (металлические стекла). Их получают, очень быстро охлаждая жидкий металл — со скоростью порядка нескольких тысяч градусов в секунду. Достичь этого можно, например, разбрызгивая мелкие капли металла на поверхность быстро вращающегося холодного диска. Капля «размазывается» по диску очень тонким слоем (толщиной в несколько микрометров), и хороший теплоотвод позволяет металлу остыть столь быстро,

что его атомы просто не успевают расположиться правильным образом. Оказалось, что аморфные сплавы обладают повышенной твердостью, высокой коррозионной стойкостью, оптимальным сочетанием электрических и магнитных свойств. Область применения таких материалов быстро расширяется.

Рис. 18.9: Фотография поперечного сечения сверхпроводящего кабеля.

Интересные опыты по выяснению структуры аморфных тел проделал в 1959 г. английский ученый Дж. Бернал. Одинаковые шарики из пластилина были беспорядочно сложены и спрессованы в сплошной ком. Когда их потом разобрали, оказалось, что многогранники, в которые превратились шарики, обладают преимущественно пятиугольными гранями. Такие же опыты проделывали и с круглыми свинцовыми пулями. Если пули до сжатия укладывались наиболее упорядоченно и плотно, то после деформации образовывались почти точные ромбододекаэдры, а если их насыпали случайно, получались неправильные четырнадцатигранные тела. При этом встречались четырехугольные, пятиугольные и шестиугольные грани, но преобладали пятиугольные.

В современной технологии довольно часто возникает необходимость плотно упаковывать компоненты изделия. На рис. 18.9 показана фотография сечения сверхпроводящего кабеля, состоящего из множества сверхпроводящих жил, заключенных в медную оболочку. Первоначально жилы имели цилиндрическую форму, но после обжатия превратились в шестигранные призмы. Чем плотнее, регулярнее упакованы жилы, тем более правильные шестиугольники видны в сечении. Это — свидетельство высокого качества изготовления кабеля. При нарушении плотности упаковки в сечении появляются пятиугольники.

Рис. 18.10: Колония вирусов также обладает свойством симметрии (фотография сделана с помощью электронного микроскопа).

Симметрия 5-го порядка очень распространена в биологических объектах. На рис. 18.10 представлена электронно - микроскопическая фотография колонии вирусных частиц Не правда ли, имеется полное сходство с пентагональной упаковкой шаров, показанной на рис. 18.5? Палеонтологи даже используют наличие осей порядка в ископаемых объектах для доказательства их биологического (а не геологического) происхождения... Видите, как далеко увели нас следы на песке.

Почему индийские факиры брали для своего фокуса металлические вазы с длинным тонким горлышком? Каким, по - вашему, должно быть отношение объемов горлышка и самого сосуда?