Главная > Введение в теорию конечных автоматов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.2. Эквивалентность состояний

В дальнейшем будем применять обозначение для краткой записи высказывания: «автомат М в состоянии ».

Определение 3.1. Говорят, что состояние автомата и состояние автомата эквивалентны, если под воздействием любой входной последовательности выдают одинаковые выходные последовательности. Если не эквивалентны, то говорят, что они различимы. Обозначения могут относиться к одному и тому же автомату.

Таким образом, эквивалентны тогда и только тогда, когда, наблюдая внешние выходы, нельзя отличить автомат находящийся в начальном состоянии от автомата находящегося в начальной состоянии Состояния и различимы тогда и только тогда, когда имеется хотя бы одна входная последовательность, подача которой как на так и на дает на выходах различные последовательности.

Эквивалентность обозначается равенством а различимость — неравенством Пользуясь определением 3.1, можно легко показать, что эквивалентные состояния обладают свойством рефлексивности свойством симметричности (если то ) и свойством транзитивности (если то ). Следовательно, эквивалентность состояний может рассматриваться как обычное соотношение эквивалентности, которое применимо к множествам состояний любой мощности. Различимость состояний не обладает свойствами рефлексивности и транзитивности и, следовательно, может относиться только к парам состояний.

В некоторых случаях эквивалентность или различимость двух состояний одного и того же автомата могут быть установлены исследованием таблицы переходов данного автомата,

Некоторые из этих случаев описываются с помощью следующих трех лемм.

Лемма 3.1. Пусть автомата М. Если строки в подтаблице автомата М различаются, то

Доказательство. Очевидно, существует по крайней мере один входной символ, при приложении которого к на выходе М получаются различные выходные символы. Следовательно, по олределению 3.1

Лемма 3.2. Пусть состояния автомата М. Если строки в полной таблице переходов автомата М одинаковы, то

Доказательство. При приложении к любого входного символа выходные символы и следующие состояния в обоих случаях будут одинаковы. Поскольку переходят в одно и то же состояние, их реакции на все подпоследовательности входных сигналов должны совпадать. Следовательно, по определению

Лемма 3.3. Пусть и состояния автомата М. Если строки полной таблицы переходов автомата М становятся одинаковыми при замене каждого обозначения на (или наоборот), то

Доказательство. При приложении любого входного символа к выходные символы одинаковы в двух случаях: либо переходят в одно и то же состояние, либо в состояния (не обязательно соответственно). Если следующее состояние одно и то же, то реакции автомата на входные подпоследовательности будут совпадать. Если следующими состояниями являются , то восстановится исходная ситуация, и приведенные выше соображения можно будет повторить, чтобы показать, что следующие выходные символы одинаковы в обоих случаях. Затем, по индукции, получим, что реакции при на любую входную последовательность будут одинаковыми, откуда следует, что

Пары строк, обладающие свойством, приведенным в лем называются явно различимыми, а состояния, стоящие в основном столбце в этих строках, — явно разли чимыми состояниями. Пары строк, обладающие свойствами,

указанными в леммах 3.2 и 3.3, называются явно эквивалентными, а состояния, стоящие в основном столбце в этих строках,-явно эквивалентными состояниями.

Таким образом, имеем:

Теорема 3.1. Если состояния явно различимы, то а если состояния явно эквивалентны, то .

Следует отметить, что утверждение, обратное теореме 3.1, несправедливо, т. е. не каждая пара различимых состояний является явно различимой и не каждая пара эквивалентных состояний явно эквивалентной. Используя определения, введенные в § 2.3, можно заключить, что в явно минимальном автомате все пары состояний различимы, а в явно сократимом автомате имеется по крайней мере одна пара эквивалентных состояний.

Рис. 3.1. Автомат .

Для иллюстрации лемм рассмотрим автомат представленный графом переходов, изображенным на рис. 3.1, и таблицей переходов 3.1.

Из таблицы переходов видно, что строки 1 и 5 одинаковы, а строки 2 и 6 становятся одинаковыми, если каждую цифру 2 заменить на цифру 6 (или каждую цифру 6 заменить на цифру 2). Следовательно, состояния в парах {1,5} И {2, 6} являются эквивалентными. Рассмотрение подтаблицы

Таблица 3.1. Автомат

лицы показывает также, что ни одно состояние из множества не может быть эквивалентным какому-либо состоянию из множества

1
Оглавление
email@scask.ru