Приложение 4. Вывод алгебраического уравнения Риккати

Запишем уравнения (4.1.1), (4.1.2) и функционал (4.1.3) в развернутой форме:

где

для всех значений .

Уравнения в частных производных (2.3.8), (2.3 9) имеют в рассматриваемом случае вид

Исключая из с помощью , получим нелинейное уравнение в частных производных

Решение этого уравнения будем искать в виде квадратичной формы

Подставляя выражение , получим

Это равенство можно записать в виде

Приравнивая нулю совокупность коэффициентов при произведениях и учитывая, что , получим систему из алгебраических уравнений для определения коэффициентов

Подставляя квадратичную форму , получим

Если система алгебраических уравнений имеет своим решением хотя бы один набор чисел , при котором форма является положительно-определенной,

для всех , то искомое оптимальное уравнение , разрешающее задачу, имеет вид и, следовательно, искомые коэффициенты равны

Записывая в матричной форме, получим (4.1.12), (4.1.13).