Оптимальный наблюдатель (оптимальный фильтр Калмана — Бьюси).

Утверждение 5.2.1. Матрица уравнения наблюдателя (5.2.6), при которой (5.2.7) достигает минимального значения, определяется выражением

(5.2.8)

где - матрица размеров , являющаяся решением уравнения Риккати

(5.2.9)

с начальным условием

(5.2.10)

Начальное условие для наблюдателя (5.2.6) должно быть выбрано в виде

(5.2.11)

Доказательство этого утверждения приведено в приложении 6.

Наблюдатель (5.2.6), у которого матрица и начальные условия определяются соотношениями , часто называют фильтром Калмана — Бьюси по имени авторов этих со» отношений [5.6].

Нетрудно заметить сходство в решении задач оптимального управления (АКОР) и оптимальной фильтрации. Действительно, сравнивая выражения и (5.2.8), (5.2.9), заключаем, что если положить ,

(5.2.12)

то эти выражения совпадают с точностью до знака производной и краевых условий. (В первом случае эти условия заданы в конечный момент времени а в случае оптимального наблюдения — в начальный момент времени ). Это сходство является выражением двойственности (дуальности) задач оптимального управления и наблюдения.

Еще раз отметим, что матрица коэффициентов усиления оптимального наблюдателя строится на основе решения уравнения Риккати (5.2.9) в «прямом» времени, тогда как в задаче оптимального управления это уравнение решается в «обратном» времени.

В стационарном случае уравнения (5.2.1), (5.2.2) принимают

(5.2.13)

где случайные процессы типа «белый шум» характеризуются постоянными ковариационными матрицами .

Матрица К оптимального наблюдателя

(5.2.14)

определяется как

(5.2.15)

где — матрица чисел (размеров ) есть решение алгебраического уравнения

(5.2.16)

которое находится как установившееся решение дифференциального уравнения (5.2.9) (в котором ) при . Такой наблюдатель является оптимальным в смысле функционала

(5.2.17)

Отметим, что, как и в нестационарном случае, матрица К не зависит от выбора матрицы функционала оптимизации.

Пример 5.2.1. Построим оптимальный наблюдатель для объекта (4.2.20), (4.2.21), возбужденного случайными внешними возмущениями, при неточных измерениях. Уравнения (4.2.20), (4.2.21) примут в этом случае вид

(5.2.18)

где - случайные процессы типа «белый шум» с интенсивностями соответственно.

Наблюдатель, оптимальный в смысле функционала

(5.2.20)

, описывается в соответствии с (5.2.14) уравнениями

в которых неизвестные коэффициенты находятся из соотношений

где являются решением матричного уравнения вида

(5.2.23)

В развернутой форме это уравнение запишется как

Из последнего уравнения получаем

Подставляя это выражение в первое из уравнений, получим

(5.2.25)

подставляя во второе уравнение, заключаем, что

Искомые параметры

(5.2.27)