Оптимальное по быстродействию управление линейными объектами.

Рассмотрим важный для практики частный случай задачи об оптимальном быстродействии, когда уравнения (3.1.1) объекта линейны и имеют вид

В этом случае функция

Сопряженная система (3.1.7) записывается так:

(3.1.14)

Для линейных объектов принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности по быстродействию. В соответствии с (3.1.8) для оптимальности управления необходимо и достаточно, чтобы функция (3.1.13) принимала наибольшее значение при ограниченном . Эта функция достигает максимума, если

(3.1.15)

При и ограничении это условие примет вид

(3.1.16)

где .

Необходимым условием экстремума всякой гладкой функции, заданной в открытой области изменения ее аргумента, является равенство нулю ее производной. Если функция задана в замкнутой области, то ее экстремум может достигаться как внутри, так и на границе этой области. В рассматриваемом случае функция — линейная относительно , ее производная не зависит от , и поэтому если на не наложено ограничение, то не существует точки , в которой функция достигает экстремума. Если функция рассматривается в замкнутом интервале изменения переменной , то в этом интервале она достигает максимума и минимума на границах интервала (рис. 3.1.1).

Спрашивается, каково же должно быть , чтобы функция достигала максимума? Как следует из рис. 3.1.1, и определяется выражением

Это выражение справедливо для каждого момента времени, и поэтому оптимальное управление имеет вид

(3.1.17)

Возвращаясь к общему случаю замечаем, что каждая составляющая вектора и изменяется независимо от остальных составляющих, поэтому (3.1.15) выполняется, если

Таким образом, для линейных объектов принцип максимума дает явный вид (3.1.18) оптимального управления, а краевая задача состоит в определении вектора , при котором решения системы

( - столбец матрицы );

удовлетворяют краевым условиям (3.1.2), (3.1.3).

Заметим, что корни характеристического уравнения объекта (3.1.12) и сопряженной системы (3.1.14) равны по модулю, однако противоположны по знаку. Действительно, характеристический полином объекта имеет вид , а сопряженной системы имеет вид , и если, например, объект асимптотически устойчив, то сопряженная система неустойчива. Это приводит к трудностям при численном решении краевой задачи. В связи с этим были разработаны специальные методы (изложенные, например, в [3.4]) решения краевых задач для системы .

Трудности решения краевой задачи для системы к которой сводится задача об оптимальном программном управлении при использовании принципа максимума, привели к разработке нового метода [2.6], предложенного Н. Н. Красовским.

Рис. 3.1.1.

Этот метод сводит задачу об оптимальном программном управлении в линейных системах к так называемой проблеме моментов, изучаемой в функциональном анализе. Доступное изложение метода приведено в [3.5].

Пример 3.1.2. Пусть объект управлении описывается уравнением

Требуется определить функцию управления , удовлетворяющую неравенству , которое переводит этот объект из состояния

в нулевое положение

за минимальное время.

Вводя обозначения запишем уравнение объекта в форме

Функция

а сопряженная система (3.1.14) имеет вид

Из (3.1.23) заключаем, что искомое оптимальное управление имеет вид

Разрешая последнюю систему трех уравнений относительно , получим дифференциальное уравнение

для определения функции .

Теорема об -интервалах. Из (3.1.18) следует, что каждая из компонент оптимального управления представляет собой кусочно-постоянную функцию, точками разрыва которой являются точки обращения в нуль функции

На рис. 3.1.2 приведен график изменения во времени одной из этих функций.

Каждую точку разрыва оптимального управления будем называть точкой переключения. Число переключений каждого из управлений определяется числом нулей функции и может быть очень большим. Существует, однако, один важный случай, когда число переключений этих управлений допускает точную оценку.

Этот случай составляет содержание теоремы об -интервалах.

Теорема 3.1.1 (об -интервалах). Если корни характеристического уравнения объекта (3.1.12) действительны, то число переключений каждого из управлений не превышает .

При доказательстве теоремы ограничимся для простоты случаем Кроме того, будем полагать, что объект управления описывается системой (3.1.22), при этом корни уравнения объекта (3.1.22) попарно различны. Однако приводимое ниже доказательство полностью повторяется для общего случая, описанного теоремой.

Обозначим через — корни характеристического уравнения объекта. Тогда очевидно, что корни характеристического полинома уравнения (3.1.26) равны и, следовательно, функция являющаяся решением этого уравнения, имеет вид

где — постоянные интегрирования.

Поскольку число корней (нулей) функции определяет число переключений оптимального управления, то теорема 3.1.1 будет доказана, если справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3.1.1. Если попарно различные действительные числа, то функция (3.1.27) не может иметь более двух действительных корней. Доказательство. При утверждение справедливо (уравнение не имеет действительных корней). Предположим, что утверждение доказано для случая, когда в (3.1.27) имеется лишь два слагаемых, и докажем ее для трех слагаемых.

Допустим противное, что функция имеет не менее трех действительных корней. Умножив ее на , получим функцию

которая также имеет не менее трех действительных корней. Из математического анализа (теорема Ролля) следует, что между двумя действительными корнями функции лежит по крайней мере один корень ее производной.

Рис. 3.1.2.

Следовательно, производная функции (3.1.28) имеет не менее двух действительных корней. С другой стороны, эта производная определяется выражением

в которой числа попарно различны, и, следовательно, она имеет не более одного действительного корня (выше полагалось, что утверждение доказано для случая, когда (3.1.27) содержит менее трех слагаемых). Полученное противоречие доказывает утверждение и теорему 3.1.1.