Построение алгоритма адаптации (идентификации) на основе метода наименьших квадратов.

Переходя к алгоритму идентификации параметров объекта (10.1.1), представим его в форме

(10.1.26)

Вводя обозначения

запишем (10.1.26) как

Вектор неизвестных параметров будем искать из условия минимума суммы квадратов невязок

В соответствии с методом наименьших квадратов этот минимум достигается, если сходится последовательность оценок этого вектора, задаваемая соотношениями (9.2.36), (9.2.38). Однако их формальное использование может не дать результата, поскольку вектор в этих соотношениях содержит значения переменной у в различные моменты времени, а вектор , определяемый (10.1.27), включает в себя входную переменную . Если является выходом регулятора (10.1.5), параметры которого определяются в результате процедуры, описанной в утверждении 10.1.1 при условии, что в (10.1.15) заменяется его оценкой, то можно построить последовательность, сходящуюся к искомому вектору .

Такая последовательность определяется рекуррентными соотношениями:

(10.1.29)

где

(10.1.30)

которые являются некоторой модификацией соотношений и при с точностью до обозначений совпадают с ними.

Утверждение 10.1.2. Пусть имеется объект управления, описываемый уравнением (10.1.1), с неопределенными параметрами. Адаптивный регулятор, обеспечивающий достижение цели управления (10.1.3) при , описывается уравнением

(10.1.31)

параметры которого являются решением линейного алгебраического уравнения

(10.1.32)

где - вектор оценок параметров объекта (10.1.1), получаемых на основе рекуррентных соотношений .

В этих соотношениях вектор , определяемый (10.1.27), доступен непосредственному измерению. При достаточно больших значениях к векторы ( — достаточно малое положительное число) и корни характеристического уравнения системы (10.1.1), (10.1.31) будут близки к заданным числам .

Строгая формулировка этого утверждения и его доказательство приведены в работе . В книге [6.5] эти результаты развиваются на случай, когда . Там же получены алгоритмы оптимального (в смысле критериев ) адаптивного управления; кроме того, в [6.5] указаны пути обобщения на многомерные системы

Пример 10.1.2. Параметрически адаптивная система управления гирорамой. Рассмотрим гирораму, дискретная модель которой отбывается равнениями (10 1 16) (10 1 19) Пусть ее параметры изменяются непредвиденным образом.

Причина этих изменений может быть различна. Так, например, при сбоях в питании гиромотора кинетический момент гироскопа будет изменяться. При этом скорость изменения кинематического момента будет мала по сравнению со скоростями переходного процесса в гирораме, поэтому гипотеза квазистационарности будет выполняться. Это означает, что можно полагать в параметры постоянными, но неизвестными величинами.

Приведем уравнения к виду (10.1.21) и будем полагать, что совокупность внешних возмущений и помех в правой части (10.1.21) является процессом типа «белый шум».

Регулятор описывается уравнением

(10.1.33)

изменяющиеся параметры которого находятся как решения уравнений, построенных на основе (10.1.25):

Оценки параметров объекта (10.1.1), входящие в (10.1.34), определяются рекуррентными соотношениями:

(10.1.36)

где - симметричная матрица размеров ; - вектор с компонентами

(10.1.38)