§ 3. Частотные методы исследования устойчивости линейных управляемых систем
1. Преобразование характеристического определителя замкнутой управляемой системы.
Как показано в § 2 (2.10), характеристический определитель замкнутой управляемой системы имеет следующий вид:
Здесь 
— характеристические определители звеньев управляемой системы, причем согласно (2.21) произведение этих определителей представляет собой определитель разомкнутой управляемой системы
Таким образом, определитель замкнутой управляемой системы можно записать так:
(3.1)
Согласно (2.7) и (2.8)
(3.2)
то
(3.3)
Матрица 
является квадратной матрицей типа 
и в соответствии с выражением (3) все элементы матрицы
(3.4)
представляют собой дробно-рациональные функции от оператора дифференцирования D, у каждой из которых знаменатель равен 
.
Матрица 
имеет вид
(3.5)
Определитель этой матрицы можно привести к следующему виду:
(3.6)
где 
— дробно-рациональная функция от 
(3.7)
а 
- некоторый полином от D. Из выражений (6) и (1) следует, что
(3.8)
или согласно (7)
(3.9)
Так как 
- целая функция (поскольку она представляет собой определитель замкнутой управляемой системы), то очевидно, что
(3.10)
где 
- некоторый полином от 
.
Таким образом,
(3.11)
Выражение (8) теперь принимает вид
(3.12)
Для того чтобы управляемая система была асимптотически устойчивой, необходимо, чтобы все нули полинома 
были расположены в левой полуплоскости комплексного переменного 
.
Необходимые и достаточные условия, при которых эти требования выполняются, даются критерием Гурвитца [17, 21]. Большие возможности, однако, дает критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости замкнутой управляемой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.
Частотной характеристикой разомкнутой управляемой системы называется функция
где 
- матричная передаточная функция разомкнутой системы, которая определена в § 2 формулой (2.28).
Так как, согласно (2.28)
где 
и 
- матричные передаточные функции звеньев системы, то
и для построения частотной характеристики разомкнутой управляемой системы требуется лишь знание частотных характеристик ее звеньев. Последние же, если неизвестно аналитическое выражение функций 
, могут быть определены экспериментально, как это показано ниже. Таким образом, основная ценность критерия Найквиста состоит в том, что он позволяет судить об устойчивости замкнутой управляемой системы не только по аналитическим, но и по экспериментальным характеристикам разомкнутой системы. Этот критерий, излагаемый ниже, был предложен Найквистом [13] для усилителей с обратной связью и применен А. В. Михайловым [65] и др. к регулируемым системам.
